Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 150 mm (cegła) i 75 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 10 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 24 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 50 mm (wełna mineralna) i 25 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -9 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 50 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 12 m². Gorący płyn stygnie od 85 do 45 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 40 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.
Q̇ = 50 kWA = 12 m²Th: 85 → 45 °CTc: 30 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 155 do 75 °C. Woda (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 25 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 20 mm, a U = 300 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 323,3 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,0433 = 323,3 W
Odpowiedź
Q̇ = 323,3 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,6906 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·20) = 0,001736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,0724 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,0724) = 0,6906 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,6906 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: U = 199,8 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 45 − 40 = 5 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 5)/ln(55/5) = 20,85 K
Współczynnik przenikania
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 50000/(12·20,85) = 199,8 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 199,8 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 212,8 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 1·2,3·(155 − 75) = 184 kW
Tc,out = 25 + 184/(0,5·4,18) = 113 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 113 = 41,96 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 25 = 50 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (41,96 − 50)/ln(41,96/50) = 45,86 K
Powierzchnia i długość
A = 184000/(300·45,86) = 13,37 m²
L = A/(πD) = 13,37/(π·0,02) = 212,8 m
Odpowiedź
L = 212,8 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer