Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Wełna mineralna, k = 0,04200 mmSzkło, k = 0,96100 mm16 °C9 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 200 mm (wełna mineralna) i 100 mm (szkło), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 16 °C i 9 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Styropian, k = 0,035200 mmCegła, k = 0,7225 mmpomieszczenie 22 °Cna zewnątrz -1 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 200 mm (styropian) i 25 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -1 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT115 °C80 °C10 °C75 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 320 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 5 m². Gorący płyn stygnie od 115 do 80 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 75 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.

Q̇ = 320 kWA = 5 m²Th: 115 → 80 °CTc: 10 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT100 °C50 °C66,68 °C30 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) stygnie od 100 do 50 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 1,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 30 °C. Przy U = 1000 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 9,143 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·4) = 1,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 7/1,276 = 5,486 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 5,486·1,25 = 9,143 °C

Odpowiedź

Ti = 9,143 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 21,36 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·10) = 0,5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,5949 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (22 − (-1))/0,5949 = 38,66 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 38,66·0,01667 = 21,36 °C

Odpowiedź

Ts = 21,36 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: U = 1948 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 10 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 75 = 5 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 5)/ln(105/5) = 32,85 K

Współczynnik przenikania

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 320000/(5·32,85) = 1948 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 1948 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 8,814 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·50 = 230 kW
Tc,out = 30 + 230/(1,5·4,18) = 66,68 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 66,68 = 33,32 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (33,32 − 20)/ln(33,32/20) = 26,09 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 230000/(1000·26,09) = 8,814 m²

Odpowiedź

A = 8,814 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer