Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (szkło) i 75 mm (cegła), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 22 °C i -9 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 200 mm (styropian) i 100 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -10 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 4 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 270 kW. Gorący płyn stygnie od 160 do 145 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 65 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 300 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 270 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 160 → 145 °CTc: 10 → 65 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 125 do 70 °C. Woda (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 10 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 25 mm, a U = 200 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 125 → 70 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 10 °CD = 25 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = −0,1429 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·20) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·20) = 0,005208 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,01823 = 1701 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 1701·0,01302 = −0,1429 °C
Odpowiedź
Ti = −0,1429 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,1545 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·4) = 1,429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 1,618 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1,618) = 0,1545 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,1545 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 7,906 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 65 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 145 − 10 = 135 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 135)/ln(95/135) = 113,8 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(300·113,8) = 7,906 m²
Odpowiedź
A = 7,906 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 124,2 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 1·2,5·(125 − 70) = 137,5 kW
Tc,out = 10 + 137,5/(1·4,18) = 42,89 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 42,89 = 82,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (82,11 − 60)/ln(82,11/60) = 70,48 K
Powierzchnia i długość
A = 137500/(200·70,48) = 9,755 m²
L = A/(πD) = 9,755/(π·0,025) = 124,2 m
Odpowiedź
L = 124,2 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer