Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (styropian) i 75 mm (szkło), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 3 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 200 mm (szkło) i 75 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -10 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
W skraplaczu para skrapla się na zewnętrznej powierzchni rur w stałej temperaturze 130 °C. Woda chłodząca (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) płynie przez rury i nagrzewa się od 25 do 120 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Ts = 130 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 120 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 90 °C, a zimny 30 °C. Wymiennik ma A = 1,5 m² i U = 800 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 90 °CTc,in = 30 °CA = 1,5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 85,85 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,2446 = 85,85 W
Odpowiedź
Q̇ = 85,85 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 17,07 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,07895 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-10))/0,07895 = 392,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 392,6·0,01 = 17,07 °C
Odpowiedź
Ts = 17,07 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 39,31 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna po stronie wody
Q̇ = 4·4,18·(120 − 25) = 1588 kW
Różnice temperatur na końcach
ΔT₁ = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = 130 − 120 = 10 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 10)/ln(105/10) = 40,4 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,588 × 10⁶/(1000·40,4) = 39,31 m²
Odpowiedź
A = 39,31 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Th,out = 63,33 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Stała różnica temperatur
Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła
1,5·(90 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 30)
Th,out = (1,5·90 + 1,2·30)/(1,5 + 1,2) = 63,33 °C
Odpowiedź
Th,out = 63,33 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 40 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 56,67 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer