Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 150 mm (wełna mineralna) i 25 mm (drewno), a jej pole wynosi 10 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 16 °C i 3 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 100 mm (styropian) i 100 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -6 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 390 kW. Gorący płyn stygnie od 120 do 90 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 105 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 800 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 390 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 120 → 90 °CTc: 10 → 105 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 2 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 115 °C, a zimny 15 °C. Wymiennik ma A = 4 m² i U = 300 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 115 °CTc,in = 15 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 33,36 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·10) = 0,01471 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,3897 = 33,36 W
Odpowiedź
Q̇ = 33,36 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 84,3 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,3203 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-6))/0,3203 = 84,3 W
Odpowiedź
Q̇ = 84,3 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 12,55 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 105 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 80)/ln(15/80) = 38,83 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(800·38,83) = 12,55 m²
Odpowiedź
A = 12,55 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Th,out = 77,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Stała różnica temperatur
Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła
2·(115 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 15)
Th,out = (2·115 + 1,2·15)/(2 + 1,2) = 77,5 °C
Odpowiedź
Th,out = 77,5 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 75 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 52,5 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer