Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Beton, k = 1,4250 mmStyropian, k = 0,03550 mm15 °C-3 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 250 mm (beton) i 50 mm (styropian), a jej pole wynosi 6 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 15 °C i -3 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Wełna mineralna, k = 0,04100 mmPłyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17150 mmpomieszczenie 20 °Cna zewnątrz -12 °CQ̇ = ?

Ściana z 100 mm (wełna mineralna) i 150 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -12 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT130 °C80 °C30 °C50 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 170 kW. Gorący płyn stygnie od 130 do 80 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 50 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 170 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 80 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT105 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂kondensująca para

Para skrapla się w stałej temperaturze 105 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 4 m² i U = 2500 W/(m²·K). Woda chłodząca (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 25 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.

Ts = 105 °CA = 4 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 13 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·6) = 0,02976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,2679 = 67,2 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 67,2·0,02976 = 13 °C

Odpowiedź

Ti = 13 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Q̇ = 180,5 W

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1773 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (20 − (-12))/0,1773 = 180,5 W

Odpowiedź

Q̇ = 180,5 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 5,848 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 50 = 30 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 30)/ln(100/30) = 58,14 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(500·58,14) = 5,848 m²

Odpowiedź

A = 5,848 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Tc,out = 97,69 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła

Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·4/(1·4180) = 2,392

Temperatura na wylocie

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,392 = 80·0,09142 = 7,313 K
Tc,out = 105 − 7,313 = 97,69 °C

Odpowiedź

Tc,out = 97,69 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 303,8 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer