Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Szkło, k = 0,96250 mmDrewno, k = 0,1750 mm20 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 250 mm (szkło) i 50 mm (drewno), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 20 °C i -6 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 20 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Szkło, k = 0,9650 mmCegła, k = 0,7225 mmpomieszczenie 21 °Cna zewnątrz -3 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 50 mm (szkło) i 25 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 6 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT110 °C55 °C65 °C15 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 370 kW. Gorący płyn stygnie od 110 do 55 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 65 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 370 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 110 → 55 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT105 °C50 °C28,82 °C15 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 105 do 50 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 3 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 15 °C. Przy U = 1000 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 105 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 7,79 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·20) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,02773 = 937,7 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 937,7·0,01302 = 7,79 °C

Odpowiedź

Ti = 7,79 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 8,762 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·6) = 0,005787 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,04086 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (21 − (-3))/0,04086 = 587,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 587,4·0,02083 = 8,762 °C

Odpowiedź

Ts = 8,762 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 17,43 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 65 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 40)/ln(45/40) = 42,45 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(500·42,45) = 17,43 m²

Odpowiedź

A = 17,43 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 3,272 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·55 = 173,3 kW
Tc,out = 15 + 173,3/(3·4,18) = 28,82 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 28,82 = 76,18 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (76,18 − 35)/ln(76,18/35) = 52,95 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 173250/(1000·52,95) = 3,272 m²

Odpowiedź

A = 3,272 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer