Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (styropian) i 25 mm (drewno), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 20 °C i 5 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 150 mm (wełna mineralna) i 150 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła (jeden przepływ w płaszczu, dwa przepływy w rurach) ma przekazywać 110 kW. Gorący płyn stygnie od 145 do 95 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 20 °C. Współczynnik poprawkowy LMTD dla tego układu wynosi F = 0,8, a U = 300 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 110 kWF = 0,8U = 300 W/(m²·K)Th: 145 → 95 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Para skrapla się w stałej temperaturze 120 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 3 m² i U = 2000 W/(m²·K). Woda chłodząca (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 30 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.
Ts = 120 °CA = 3 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 6,4 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·4) = 0,03676 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,3939 = 38,08 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 38,08·0,3571 = 6,4 °C
Odpowiedź
Ti = 6,4 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,2091 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4782 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,4782) = 0,2091 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,2091 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 4,419 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach (przeciwprąd)
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 20 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 10 = 85 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 85)/ln(125/85) = 103,7 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 110000/(300·0,8·103,7) = 4,419 m²
Odpowiedź
A = 4,419 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Tc,out = 98,58 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła
Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·3/(1·4180) = 1,435
Temperatura na wylocie
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 90·0,238 = 21,42 K
Tc,out = 120 − 21,42 = 98,58 °C
Odpowiedź
Tc,out = 98,58 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 286,7 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer