Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (cegła) i 50 mm (wełna mineralna), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 18 °C i -14 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 18 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 150 mm (styropian) i 50 mm (beton) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 100 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 2 m². Gorący płyn stygnie od 90 do 65 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 40 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.
Q̇ = 100 kWA = 2 m²Th: 90 → 65 °CTc: 15 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Para skrapla się w stałej temperaturze 105 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 2,5 m² i U = 2000 W/(m²·K). Woda chłodząca (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 25 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.
Ts = 105 °CA = 2,5 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 16,32 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,06597 = 485,1 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 485,1·0,003472 = 16,32 °C
Odpowiedź
Ti = 16,32 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,2229 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·8) = 0,004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,5608 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,5608) = 0,2229 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,2229 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: U = 1099 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 40 = 25 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 25)/ln(75/25) = 45,51 K
Współczynnik przenikania
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 100000/(2·45,51) = 1099 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 1099 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Tc,out = 61,01 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła
Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·2,5/(2·4180) = 0,5981
Temperatura na wylocie
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5981 = 80·0,5499 = 43,99 K
Tc,out = 105 − 43,99 = 61,01 °C
Odpowiedź
Tc,out = 61,01 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 301,1 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer