Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 150 mm (styropian), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 17 °C i 4 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 200 mm (drewno) i 25 mm (styropian) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła (jeden przepływ w płaszczu, dwa przepływy w rurach) ma przekazywać 710 kW. Gorący płyn stygnie od 155 do 140 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 125 °C. Współczynnik poprawkowy LMTD dla tego układu wynosi F = 0,88, a U = 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 710 kWF = 0,88U = 1000 W/(m²·K)Th: 155 → 140 °CTc: 25 → 125 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Para skrapla się w stałej temperaturze 120 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 2 m² i U = 3000 W/(m²·K). Woda chłodząca (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 10 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.
Ts = 120 °CA = 2 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 16,17 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/1,145 = 11,35 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 11,35·0,07353 = 16,17 °C
Odpowiedź
Ti = 16,17 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 19,58 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,1054 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (3))/0,1054 = 170,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 170,8·0,008333 = 19,58 °C
Odpowiedź
Ts = 19,58 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 12,75 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach (przeciwprąd)
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 125 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 140 − 25 = 115 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 115)/ln(30/115) = 63,26 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 710000/(1000·0,88·63,26) = 12,75 m²
Odpowiedź
A = 12,75 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Tc,out = 51,83 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła
Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2/(3·4180) = 0,4785
Temperatura na wylocie
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 110·0,6197 = 68,17 K
Tc,out = 120 − 68,17 = 51,83 °C
Odpowiedź
Tc,out = 51,83 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 524,5 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer