Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (cegła) i 100 mm (szkło), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 15 °C i -11 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 150 mm (beton) i 50 mm (styropian) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -4 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 6 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 450 kW. Gorący płyn stygnie od 180 do 45 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 50 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 200 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 450 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 180 → 45 °CTc: 25 → 50 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 180 do 70 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 2 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 15 °C. Przy U = 500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 180 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = −5 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·15) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·15) = 0,006944 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,03009 = 864 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 864·0,02315 = −5 °C
Odpowiedź
Ti = −5 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 19,11 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,2859 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-4))/0,2859 = 87,43 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 87,43·0,02165 = 19,11 °C
Odpowiedź
Ts = 19,11 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 38,29 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 50 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 20)/ln(130/20) = 58,77 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(200·58,77) = 38,29 m²
Odpowiedź
A = 38,29 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 5,134 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·110 = 231 kW
Tc,out = 15 + 231/(2·4,18) = 42,63 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 42,63 = 137,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (137,4 − 55)/ln(137,4/55) = 89,99 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 231000/(500·89,99) = 5,134 m²
Odpowiedź
A = 5,134 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer