Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Cegła, k = 0,7250 mmPłyta gipsowo-kartonowa, k = 0,1750 mm24 °C9 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 50 mm (cegła) i 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 10 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 9 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Beton, k = 1,4100 mmWełna mineralna, k = 0,0450 mmpomieszczenie 21 °Cna zewnątrz -14 °CQ̇

Ściana z 100 mm (beton) i 50 mm (wełna mineralna) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -14 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 4 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT140 °C10 °C55 °CΔT₁ΔT₂kondensująca para

W skraplaczu para skrapla się na zewnętrznej powierzchni rur w stałej temperaturze 140 °C. Woda chłodząca (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) płynie przez rury i nagrzewa się od 10 do 55 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Ts = 140 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 55 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT140 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂kondensująca para

Para skrapla się w stałej temperaturze 140 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 2 m² i U = 2500 W/(m²·K). Woda chłodząca (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 25 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.

Ts = 140 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 21,13 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,03636 = 412,6 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 412,6·0,006944 = 21,13 °C

Odpowiedź

Ti = 21,13 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: U = 0,6502 W/(m²·K)

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,3845 K/W

Współczynnik przenikania

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,3845) = 0,6502 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 0,6502 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 0,592 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Moc cieplna po stronie wody

Q̇ = 0,5·4,18·(55 − 10) = 94,05 kW

Różnice temperatur na końcach

ΔT₁ = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = 140 − 55 = 85 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 85)/ln(130/85) = 105,9 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94050/(1500·105,9) = 0,592 m²

Odpowiedź

A = 0,592 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Tc,out = 62,81 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła

Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(3·4180) = 0,3987

Temperatura na wylocie

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3987 = 115·0,6712 = 77,19 K
Tc,out = 140 − 77,19 = 62,81 °C

Odpowiedź

Tc,out = 62,81 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 474,2 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer