Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (styropian) i 75 mm (szkło), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 19 °C i -4 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 19 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 150 mm (wełna mineralna) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -1 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 250 kW. Gorący płyn stygnie od 85 do 40 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 45 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 200 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 250 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 85 → 40 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 140 do 115 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 3 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 30 °C. Przy U = 300 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 115 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 31,34 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·4) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,7338 = 31,34 W
Odpowiedź
Q̇ = 31,34 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 19,18 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·10) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4261 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (20 − (-1))/0,4261 = 49,29 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 49,29·0,01667 = 19,18 °C
Odpowiedź
Ts = 19,18 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 43,32 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 45 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 20)/ln(40/20) = 28,85 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(200·28,85) = 43,32 m²
Odpowiedź
A = 43,32 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 0,9115 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·25 = 26,25 kW
Tc,out = 30 + 26,25/(3·4,18) = 32,09 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 32,09 = 107,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 30 = 85 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (107,9 − 85)/ln(107,9/85) = 96 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 26250/(300·96) = 0,9115 m²
Odpowiedź
A = 0,9115 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer