Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (cegła) i 25 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 21 °C i -1 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (szkło) i 100 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 310 kW. Gorący płyn stygnie od 115 do 95 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 85 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 310 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 115 → 95 °CTc: 30 → 85 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) stygnie od 95 do 65 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 1 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 25 °C. Przy U = 1500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 65 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 5,545 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·12) = 0,02894 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,04119 = 534,1 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 534,1·0,02894 = 5,545 °C
Odpowiedź
Ti = 5,545 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 181,9 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·8) = 0,03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1319 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-3))/0,1319 = 181,9 W
Odpowiedź
Q̇ = 181,9 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 5,897 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 30 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 85 = 10 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 10)/ln(85/10) = 35,05 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 310000/(1500·35,05) = 5,897 m²
Odpowiedź
A = 5,897 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 2,704 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·30 = 150 kW
Tc,out = 25 + 150/(1·4,18) = 60,89 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 60,89 = 34,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 25 = 40 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (34,11 − 40)/ln(34,11/40) = 36,98 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1500·36,98) = 2,704 m²
Odpowiedź
A = 2,704 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer