Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (drewno) i 100 mm (styropian), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 19 °C i 4 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 150 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 150 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -14 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 320 kW. Gorący płyn stygnie od 105 do 80 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 95 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 320 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 105 → 80 °CTc: 20 → 95 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 90 do 60 °C. Woda (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 25 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 25 mm, a U = 500 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 90 → 60 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 17,6 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,1576 = 95,2 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 95,2·0,01471 = 17,6 °C
Odpowiedź
Ti = 17,6 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,8006 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·10) = 0,08824 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,1249 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,1249) = 0,8006 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,8006 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 22,93 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 95 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 60)/ln(10/60) = 27,91 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(500·27,91) = 22,93 m²
Odpowiedź
A = 22,93 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 42,46 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 1·2,3·(90 − 60) = 69 kW
Tc,out = 25 + 69/(1·4,18) = 41,51 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 41,51 = 48,49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (48,49 − 35)/ln(48,49/35) = 41,38 K
Powierzchnia i długość
A = 69000/(500·41,38) = 3,335 m²
L = A/(πD) = 3,335/(π·0,025) = 42,46 m
Odpowiedź
L = 42,46 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer