Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17200 mmSzkło, k = 0,9650 mm23 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 200 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 50 mm (szkło), a jej pole wynosi 10 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 23 °C i 8 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,1750 mmWełna mineralna, k = 0,04100 mmpomieszczenie 21 °Cna zewnątrz -12 °CQ̇

Ściana z 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 100 mm (wełna mineralna) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -12 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT180 °C130 °C110 °C10 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 280 kW. Gorący płyn stygnie od 180 do 130 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 110 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 280 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 180 → 130 °CTc: 10 → 110 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT175 °C??15 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 0,5 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 175 °C, a zimny 15 °C. Wymiennik ma A = 1,5 m² i U = 200 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.

Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 175 °CTc,in = 15 °CA = 1,5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 8,636 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·10) = 0,005208 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,1229 = 122,1 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 122,1·0,1176 = 8,636 °C

Odpowiedź

Ti = 8,636 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: U = 0,3416 W/(m²·K)

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1464 K/W

Współczynnik przenikania

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1464) = 0,3416 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 0,3416 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 2,012 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 110 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 10 = 120 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 120)/ln(70/120) = 92,76 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 280000/(1500·92,76) = 2,012 m²

Odpowiedź

A = 2,012 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Th,out = 115 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Stała różnica temperatur

Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła

0,5·(175 − Th,out) = 0,3·(Th,out − 15)
Th,out = (0,5·175 + 0,3·15)/(0,5 + 0,3) = 115 °C

Odpowiedź

Th,out = 115 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 30 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 75 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer