Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17100 mmSzkło, k = 0,96150 mm24 °C8 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 100 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 150 mm (szkło), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 8 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 24 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Szkło, k = 0,96100 mmBeton, k = 1,425 mmpomieszczenie 20 °Cna zewnątrz -10 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 100 mm (szkło) i 25 mm (beton) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -10 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 4 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT175 °C130 °C20 °C30 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 200 kW. Gorący płyn stygnie od 175 do 130 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 30 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 200 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 200 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 175 → 130 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT150 °C90 °C40,07 °C25 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) stygnie od 150 do 90 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 3 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 25 °C. Przy U = 1500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 90 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 11,36 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,04963 = 322,4 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 322,4·0,03922 = 11,36 °C

Odpowiedź

Ti = 11,36 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 6,624 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·4) = 0,004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,07009 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (20 − (-10))/0,07009 = 428 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 428·0,03125 = 6,624 °C

Odpowiedź

Ts = 6,624 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 7,968 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 20 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 130 − 30 = 100 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 100)/ln(155/100) = 125,5 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(200·125,5) = 7,968 m²

Odpowiedź

A = 7,968 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 1,474 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·60 = 189 kW
Tc,out = 25 + 189/(3·4,18) = 40,07 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 40,07 = 109,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (109,9 − 65)/ln(109,9/65) = 85,51 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189000/(1500·85,51) = 1,474 m²

Odpowiedź

A = 1,474 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer