Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 400 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Pozioma zwężka Venturiego (wlot 200 mm, gardziel 100 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 200 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,97. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 200 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z prędkością średnią 1,2 m/s przez rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
V = 1,2 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 39 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 39 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 14 m, a jej wał pobiera 16,9 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 80 L/sH = 14 mPshaft = 16,9 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 30 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (żwir) ma szerokość dna 4 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,7 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 4 my = 0,7 mz = 3n = 0,025S = 0,005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (niewygładzony beton) o szerokości 1 m ma przeprowadzić 1,1 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 1,1 m³/sb = 1 my = 1,3 mn = 0,014
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 33,11 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN
Odpowiedź
F = 33,11 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 1,4 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·2,25 = 27,59 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,25 + 0,4219/(1,25·2,25) = 1,4 m
Odpowiedź
ycp = 1,4 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 398 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/50)² = 2,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−2,031) = 398 kPa
Odpowiedź
p2 = 398 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 55,33 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Różnica ciśnień z manometru
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,2 = 24721 Pa
Prędkość w gardzieli
Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.
β = 100/200 = 0,5
v2 = √(2·24721/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,262 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,007854·7,262 = 0,05533 m³/s = 55,33 L/s
Odpowiedź
Q = 55,33 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 7,339 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,15)·1,2²/(2·9,81) = 7,339 m
Odpowiedź
hf = 7,339 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 75,67 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
39 = (29,33 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·39/41,73) = 4,282 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,282·0,01767 = 0,07567 m³/s = 75,67 L/s
Odpowiedź
Q = 75,67 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 65,01 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·14 = 10,99 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 10,99/16,9 = 65,01%
Odpowiedź
η = 65,01%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 27,14 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,1469 = 4,847 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 15,29 + 4,847 = 27,14 m
Odpowiedź
H = 27,14 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 7,676 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·0,7)·0,7 = 4,27 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 8,427 m
R = A/P = 0,5067 m
Prędkość
V = (1/0,025)·0,50672/3·0,0051/2 = 1,798 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 4,27·1,798 = 7,676 m³/s
Odpowiedź
Q = 7,676 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0005457 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 1·1,3 = 1,3 m²
P = b + 2y = 1 + 2·1,3 = 3,6 m
R = A/P = 0,3611 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·1,1/(1,3·0,5071) = 0,02336
S = 0,02336² = 0,0005457
Odpowiedź
S = 0,0005457
To spadek o 0,5457 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering