Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 120 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 120 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 25 mm i wznosi się o 4 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 290 kPa, a prędkość 0,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 290 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 12 L/s przez rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 12 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 10). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 24 m, a jej wał pobiera 5,9 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 15 L/sH = 24 mP_shaft = 5,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (czysty grunt) ma szerokość 4,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,001. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4,5 my = 1,5 mn = 0,022S = 0,001

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Prostokątny kanał (grunt porośnięty trawą) o szerokości 1 m ma przeprowadzić 0,72 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,8 m. Współczynnik Manninga n = 0,03. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 0,72 m³/sb = 1 my = 1,8 mn = 0,03

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 157 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Odpowiedź

F = 157 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 12,36 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·1 = 12,36 kN

Odpowiedź

F = 12,36 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 77,18 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/40)² = 9,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 9,375²)/1000 = −42,82 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−42,82) = 77,18 kPa

Odpowiedź

p₂ = 77,18 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 228,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−22,5) − 39,24 = 228,3 kPa

Odpowiedź

p₂ = 228,3 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 100,3 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 100,3 m

Odpowiedź

h_f = 100,3 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,207 m

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 8,333 + 11,7)·0,05738 = 1,207 m

Odpowiedź

H = 1,207 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 59,86 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·24 = 3,532 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 3,532/5,9 = 59,86%

Odpowiedź

η = 59,86%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 11,94 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 8)·0,2115 = 4,738 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 5 + 4,738 = 9,738 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·9,738/0,8 = 11,94 kW

Odpowiedź

P_shaft = 11,94 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 9,044 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4,5·1,5 = 6,75 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,5 = 7,5 m

R = A/P = 0,9 m

Prędkość

V = (1/0,022)·0,9^2/3·0,001^1/2 = 1,34 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 6,75·1,34 = 9,044 m³/s

Odpowiedź

Q = 9,044 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,0005031 m/m

Geometria

A = b·y = 1·1,8 = 1,8 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,3913 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·0,72/(1,8·0,535) = 0,02243

S = 0,02243² = 0,0005031

Odpowiedź

S = 0,0005031

To spadek o 0,5031 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering