Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 310 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 140 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 50 mm, położony 3 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

p_air = 140 kPa (nadciśnienie)h = 3 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 5 L/s przez rurę o długości 800 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 5 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 200 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 15 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 15 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 75% tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 44 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 20 L/sH = 44 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 40 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 16 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 40 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 600 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 235,4 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Odpowiedź

F = 235,4 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 120,5 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·3 = 120,5 kN

Odpowiedź

F = 120,5 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 247,5 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/50)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−62,5) = 247,5 kPa

Odpowiedź

p₂ = 247,5 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 36,14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(140000/1000 + 9,81·3)) = 18,41 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,001963·18,41 = 0,03614 m³/s = 36,14 L/s

Odpowiedź

Q = 36,14 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 132,2 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 132,2 m

Odpowiedź

h_f = 132,2 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 105,4 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

15 = (18,75 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·15/26,15) = 3,355 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 3,355·0,03142 = 0,1054 m³/s = 105,4 L/s

Odpowiedź

Q = 105,4 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 11,51 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·44 = 8,633 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 8,633/0,75 = 11,51 kW

Odpowiedź

P_shaft = 11,51 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 25,75 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 8)·0,2611 = 9,749 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 16 + 9,749 = 25,75 m

Odpowiedź

H = 25,75 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 0,2746 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,002^1/2 = 0,9712 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 0,2827·0,9712 = 0,2746 m³/s

Odpowiedź

Q = 0,2746 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,009812 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1575)² = 0,009812

Odpowiedź

S = 0,009812

To spadek o 9,812 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering