Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 25 mm. Poziom wody utrzymuje się 4 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,62. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 4 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Zamknięty zbiornik z wodą ma nad wodą sprężone powietrze o nadciśnieniu 190 kPa. Woda wypływa do atmosfery przez otwór o średnicy 20 mm, położony 4 m pod powierzchnią wody. Pomijając straty, wyznacz prędkość strumienia v. Przyjmij g = 9,81 m/s².

p_air = 190 kPa (nadciśnienie)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,1 m/s przez poziomą rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,1 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 10 m. Sprawność pompy wynosi 60%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 20 L/sH = 10 mη_pump = 60%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 5

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 450 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,002. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,6 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 176,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Odpowiedź

F = 176,6 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 113,1 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·4,5 = 113,1 kN

Odpowiedź

F = 113,1 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 2,696 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0004909·8,859 = 0,002696 m³/s = 2,696 L/s

Odpowiedź

Q = 2,696 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 21,41 m/s

Równanie Bernoulliego od powierzchni do strumienia

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Odpowiedź

v = 21,41 m/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 323,4 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,15)·2,1²/(2·9,81) = 32,97 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·32,97 = 323400 Pa = 323,4 kPa

Odpowiedź

Δp = 323,4 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 4,202 m

Prędkość

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Całkowita strata wysokości

h_f = 20·0,1859 = 3,718 m

h_m = 2,6·0,1859 = 0,4834 m

Δz = h_f + h_m = 4,202 m

Odpowiedź

Δz = 4,202 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 3,479 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·10 = 1,962 kW

Moc na wale

P_shaft = 1,962/0,6 = 3,27 kW

Moc elektryczna

P_el = 3,27/0,94 = 3,479 kW

Odpowiedź

P_el = 3,479 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 18,55 m

Prędkość

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 5)·0,3305 = 13,55 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 5 + 13,55 = 18,55 m

Odpowiedź

H = 18,55 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 0,1275 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,002^1/2 = 0,8017 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 0,159·0,8017 = 0,1275 m³/s

Odpowiedź

Q = 0,1275 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002453 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1575)² = 0,002453

Odpowiedź

S = 0,002453

To spadek o 2,453 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering