Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 230 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 230 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Wąż o średnicy wewnętrznej 32 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 2,5 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 2,5 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q.

d = 32 mmz_C = +2,5 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 0,9 m/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 0,9 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 5). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 80 m, a jej wał pobiera 120,7 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 100 L/sH = 80 mP_shaft = 120,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 26 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 100 L/sΔz = 26 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (niewygładzony beton) ma szerokość 3 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3 my = 2,2 mn = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 450 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 73,58 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Odpowiedź

F = 73,58 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 4,519 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,08333/(4,5·1) = 4,519 m

Odpowiedź

y_cp = 4,519 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 225,2 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−4,758) = 225,2 kPa

Odpowiedź

p₂ = 225,2 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 5,633 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·v = 0,0008042·7,004 = 0,005633 m³/s = 5,633 L/s

Odpowiedź

Q = 5,633 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 0,3716 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,2)·0,9²/(2·9,81) = 0,3716 m

Odpowiedź

h_f = 0,3716 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 1,876 m

Prędkość

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 15 + 6,7)·0,08263 = 1,876 m

Odpowiedź

H = 1,876 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 65,02 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·80 = 78,48 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 78,48/120,7 = 65,02%

Odpowiedź

η = 65,02%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 33,78 m

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (28,8 + 8)·0,2115 = 7,784 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 26 + 7,784 = 33,78 m

Odpowiedź

H = 33,78 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 9,767 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3·2,2 = 6,6 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,2 = 7,4 m

R = A/P = 0,8919 m

Prędkość

V = (1/0,014)·0,8919^2/3·0,0005^1/2 = 1,48 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 6,6·1,48 = 9,767 m³/s

Odpowiedź

Q = 9,767 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003112 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,233)² = 0,003112

Odpowiedź

S = 0,003112

To spadek o 3,112 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering