Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 20 mm. Poziom wody utrzymuje się 1,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,65. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².
d = 20 mmh = 1,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm i wznosi się o 10 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 280 kPa, a prędkość 2,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 280 kPav1 = 2,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda płynie z natężeniem 80 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.
Q = 80 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 7 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 7 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 56 m, a jej wał pobiera 47,1 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 60 L/sH = 56 mPshaft = 47,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 10 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Trapezowy kanał (niewygładzony beton) ma szerokość dna 6 m i nachylenie skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 6 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 450 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,9 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).
D = 450 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 69,9 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN
Odpowiedź
F = 69,9 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 1,4 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,25·1,5 = 18,85 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,25 + 0,2813/(1,25·1,5) = 1,4 m
Odpowiedź
ycp = 1,4 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 1,108 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Idealna prędkość strumienia
√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·5,425 = 0,001108 m³/s = 1,108 L/s
Odpowiedź
Q = 1,108 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 153,1 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−28,75) − 98,1 = 153,1 kPa
Odpowiedź
p2 = 153,1 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: hf = 5,415 m
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Prędkość średnia
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
Wysokość prędkości
V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 5,415 m
Odpowiedź
hf = 5,415 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 166,7 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
7 = (12 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·7/24,7) = 2,358 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 2,358·0,07069 = 0,1667 m³/s = 166,7 L/s
Odpowiedź
Q = 166,7 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 69,98 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·56 = 32,96 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 32,96/47,1 = 69,98%
Odpowiedź
η = 69,98%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 16,85 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 6)·0,2115 = 6,853 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.
H = Δz + hL = 10 + 6,853 = 16,85 m
Odpowiedź
H = 16,85 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 32,13 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·1,9)·1,9 = 16,81 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 12,85 m
R = A/P = 1,309 m
Prędkość
V = (1/0,014)·1,3092/3·0,00051/2 = 1,911 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 16,81·1,911 = 32,13 m³/s
Odpowiedź
Q = 32,13 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,002521 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Promień hydrauliczny
R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,233)² = 0,002521
Odpowiedź
S = 0,002521
To spadek o 2,521 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering