Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 1 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 3 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
12d1​ = 150 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
H = ?d1​ = 100 mmp1​ = 100 kPad2​ = 30 mm

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 100 mm i nadciśnienie 100 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 30 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmp1 = 100 kPa (nadciśnienie)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 10 L/sD = 100 mmL = 500 mf = 0,015

Woda płynie z natężeniem 10 L/s przez rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 10 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 0,2Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0,022× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 200 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 10 L/sH = 58 m

Pompa o sprawności 82% tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 58 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale Pshaft, w kW.

Q = 10 L/sH = 58 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 20 L/sΔz = 6 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0,022, ΣK = 5

Pompa przetłacza 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 4,5 my = 1,5 m2 : 1n = 0,025, S = 0,005

Trapezowy kanał (żwir) ma szerokość dna 4,5 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,025, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4,5 my = 1,5 mz = 2n = 0,025S = 0,005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
b = 2,5 my = 1,3 mn = 0,012, Q = 7,8 m³/s

Prostokątny kanał (wygładzony beton) o szerokości 2,5 m ma przeprowadzić 7,8 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,012. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 7,8 m³/sb = 2,5 my = 1,3 mn = 0,012
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 110,4 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
zasuwad = 1 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Odpowiedź

F = 110,4 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 271,5 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
zasuwad = 3 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4,5·6 = 271,5 kN

Odpowiedź

F = 271,5 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p2 = 190 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−10) = 190 kPa

Odpowiedź

p2 = 190 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 10,28 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość wylotowa

β = 30/100 = 0,3
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9919)) = 14,2 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v2²/(2g) = 14,2²/(2·9,81) = 10,28 m

Odpowiedź

H = 10,28 m
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 6,197 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 6,197 m

Odpowiedź

hf = 6,197 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 8,71 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s
V²/(2g) = 0,4759 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Całkowita strata wysokości

hf = 16·0,4759 = 7,615 m
hm = 2,3·0,4759 = 1,095 m
Δz = hf + hm = 8,71 m

Odpowiedź

Δz = 8,71 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 6,939 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW

Moc na wale

Pshaft = Ph/η = 5,69/0,82 = 6,939 kW

Odpowiedź

Pshaft = 6,939 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 14,92 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,3305 = 8,924 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 6 + 8,924 = 14,92 m

Odpowiedź

H = 14,92 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 31,9 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·1,5)·1,5 = 11,25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 11,21 m
R = A/P = 1,004 m

Prędkość

V = (1/0,025)·1,0042/3·0,0051/2 = 2,835 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 11,25·2,835 = 31,9 m³/s

Odpowiedź

Q = 31,9 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001513 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·1,3 = 3,25 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,3 = 5,1 m
R = A/P = 0,6373 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·7,8/(3,25·0,7405) = 0,03889
S = 0,03889² = 0,001513

Odpowiedź

S = 0,001513

To spadek o 1,513 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering