Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 75 mm do 40 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 150 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 150 mm do 50 mm i wznosi się o 4 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 250 kPa, a prędkość 1 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 2,1 m/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 2,1 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 8 L/s?

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 60 m. Sprawność pompy wynosi 85%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 95%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 10 L/sH = 60 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 300 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (wygładzony beton) ma szerokość dna 5,5 m i nachylenie skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,012, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mz = 1,5n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 82,77 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Odpowiedź

F = 82,77 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 94,27 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·2,5 = 94,27 kN

Odpowiedź

F = 94,27 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 137,2 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−12,78) = 137,2 kPa

Odpowiedź

p₂ = 137,2 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 170,8 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−40) − 39,24 = 170,8 kPa

Odpowiedź

p₂ = 170,8 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 8,991 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 8,991 m

Odpowiedź

h_f = 8,991 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 1,169 m

Prędkość

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Całkowita strata wysokości

h_f = 15·0,05288 = 0,7932 m

h_m = 7,1·0,05288 = 0,3755 m

Δz = h_f + h_m = 1,169 m

Odpowiedź

Δz = 1,169 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 7,289 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·60 = 5,886 kW

Moc na wale

P_shaft = 5,886/0,85 = 6,925 kW

Moc elektryczna

P_el = 6,925/0,95 = 7,289 kW

Odpowiedź

P_el = 7,289 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 47,19 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,408 = 10,61 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 30,58 + 10,61 = 47,19 m

Odpowiedź

H = 47,19 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 48,85 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·1,4)·1,4 = 10,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,4·√(1 + 1,5²) = 10,55 m

R = A/P = 1,009 m

Prędkość

V = (1/0,012)·1,009^2/3·0,003^1/2 = 4,591 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 10,64·4,591 = 48,85 m³/s

Odpowiedź

Q = 48,85 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,007694 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Odpowiedź

S = 0,007694

To spadek o 7,694 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering