Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 2,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 75 mm do 50 mm i wznosi się o 8 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 240 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 2 m/s przez rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 2 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 400 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 27 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 27 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 70% tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 72 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 20 L/sH = 72 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (czysty grunt) ma szerokość 6 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,0008. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 6 my = 1,5 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (żwir) o szerokości dna 2,5 m i nachyleniu skarp 3:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 36 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,7 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 36 m³/sb = 2,5 my = 1,7 mz = 3n = 0,025

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 66,22 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3 = 66,22 kN

Odpowiedź

F = 66,22 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 5,636 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,5·4,5 = 213,7 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 3,375/(5,5·4,5) = 5,636 m

Odpowiedź

y_cp = 5,636 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 162 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−37,97) = 162 kPa

Odpowiedź

p₂ = 162 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 156,9 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−4,57) − 78,48 = 156,9 kPa

Odpowiedź

p₂ = 156,9 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 6,728 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,2)·2²/(2·9,81) = 6,728 m

Odpowiedź

h_f = 6,728 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 312,5 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

27 = (20 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/27,1) = 4,421 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 4,421·0,07069 = 0,3125 m³/s = 312,5 L/s

Odpowiedź

Q = 312,5 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 20,18 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·72 = 14,13 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 14,13/0,7 = 20,18 kW

Odpowiedź

P_shaft = 20,18 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 15,16 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (28,8 + 6)·0,2115 = 7,361 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 5 + 7,361 = 12,36 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·12,36/0,8 = 15,16 kW

Odpowiedź

P_shaft = 15,16 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 11,57 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 6·1,5 = 9 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,5 = 9 m

R = A/P = 1 m

Prędkość

V = (1/0,022)·1^2/3·0,0008^1/2 = 1,286 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 9·1,286 = 11,57 m³/s

Odpowiedź

Q = 11,57 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,005019 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,7)·1,7 = 12,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 13,25 m

R = A/P = 0,975 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·36/(12,92·0,9832) = 0,07085

S = 0,07085² = 0,005019

Odpowiedź

S = 0,005019

To spadek o 5,019 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering