Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 2,5 mH = 1,5 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 4 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0,63h = 2 m

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 2 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,63. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 2 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
H = ?d1​ = 100 mmp1​ = 20 kPad2​ = 20 mm

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 100 mm i nadciśnienie 20 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 20 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d1 = 100 mmp1 = 20 kPa (nadciśnienie)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 50 L/sD = 300 mmL = 50 mf = 0,03

Woda płynie z natężeniem 50 L/s przez rurę o długości 50 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 50 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 0,2Δz = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0182× kolano (K = 0,3)

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 50 L/sH = 54 m

Pompa tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 54 m. Sprawność pompy wynosi 82%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 95%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 50 L/sH = 54 mηpump = 82%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 50 L/sΔz = 8 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,022, ΣK = 3

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 3 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 3
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 5,5 my = 1,4 m3 : 1n = 0,022, S = 0,005

Trapezowy kanał (czysty grunt) ma szerokość dna 5,5 m i nachylenie skarp 3:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,4 m. Współczynnik Manninga n = 0,022, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mz = 3n = 0,022S = 0,005
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
b = 4 my = 2,2 m1,5 : 1n = 0,025, Q = 22 m³/s

Trapezowy kanał (żwir) o szerokości dna 4 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 22 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 22 m³/sb = 4 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,025
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 95,65 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
zasuwad = 2,5 mH = 1,5 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Odpowiedź

F = 95,65 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 497,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
zasuwad = 4 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·5,5·9 = 497,7 kN

Odpowiedź

F = 497,7 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 2,79 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0007069·6,264 = 0,00279 m³/s = 2,79 L/s

Odpowiedź

Q = 2,79 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 2,042 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość wylotowa

β = 20/100 = 0,2
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9984)) = 6,33 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v2²/(2g) = 6,33²/(2·9,81) = 2,042 m

Odpowiedź

H = 2,042 m
5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 0,1275 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 0,1275 m

Odpowiedź

hf = 0,1275 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 2,771 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Całkowita strata wysokości

hf = 10,8·0,2115 = 2,284 m
hm = 2,3·0,2115 = 0,4865 m
Δz = hf + hm = 2,771 m

Odpowiedź

Δz = 2,771 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pel = 34 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·54 = 26,49 kW

Moc na wale

Pshaft = 26,49/0,82 = 32,3 kW

Moc elektryczna

Pel = 32,3/0,95 = 34 kW

Odpowiedź

Pel = 34 kW
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 15,21 m

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,67 + 3)·0,408 = 7,209 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + hL = 8 + 7,209 = 15,21 m

Odpowiedź

H = 15,21 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 42,06 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1,4)·1,4 = 13,58 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 14,35 m
R = A/P = 0,9461 m

Prędkość

V = (1/0,022)·0,94612/3·0,0051/2 = 3,097 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 13,58·3,097 = 42,06 m³/s

Odpowiedź

Q = 42,06 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,0007892 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·2,2)·2,2 = 16,06 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 11,93 m
R = A/P = 1,346 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·22/(16,06·1,219) = 0,02809
S = 0,02809² = 0,0007892

Odpowiedź

S = 0,0007892

To spadek o 0,7892 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering