Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda wypływa z dużego otwartego zbiornika przez otwór o ostrej krawędzi i średnicy 30 mm. Poziom wody utrzymuje się 4,5 m nad otworem, a współczynnik wypływu wynosi 0,61. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4,5 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 100 mm, gardziel 60 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 370 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 370 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 6 L/s przez rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 50 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 6 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 0,2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 48 m. Sprawność pompy wynosi 78%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 92%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 80 L/sH = 48 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 15 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 100 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 65%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 15 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 1200 mm jest wypełniony do połowy. Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (niewygładzony beton) o szerokości dna 1 m i nachyleniu skarp 2:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 1,8 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 0,5 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 1,8 m³/sb = 1 my = 0,5 mz = 2n = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 85,84 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN

Odpowiedź

F = 85,84 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 2,633 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·6 = 129,5 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 2/(2,5·6) = 2,633 m

Odpowiedź

y_cp = 2,633 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 4,052 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Idealna prędkość strumienia

√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Współczynnik wypływu uwzględnia kontrakcję strumienia i tarcie na krawędzi.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,0007069·9,396 = 0,004052 m³/s = 4,052 L/s

Odpowiedź

Q = 4,052 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 28,69 L/s

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,37 = 45734 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 60/100 = 0,6

v₂ = √(2·45734/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,25 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,002827·10,25 = 0,02869 m³/s = 28,69 L/s

Odpowiedź

Q = 28,69 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 19,04 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 19,04 m

Odpowiedź

h_f = 19,04 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 4,461 m

Prędkość

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 8,333 + 1,6)·0,408 = 4,461 m

Odpowiedź

H = 4,461 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 52,49 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·48 = 37,67 kW

Moc na wale

P_shaft = 37,67/0,78 = 48,3 kW

Moc elektryczna

P_el = 48,3/0,92 = 52,49 kW

Odpowiedź

P_el = 52,49 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 4,168 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0,1859 = 10,41 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 8 + 10,41 = 18,41 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·18,41/0,65 = 4,168 kW

Odpowiedź

P_shaft = 4,168 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 1,233 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Prędkość

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,004^1/2 = 2,18 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 0,5655·2,18 = 1,233 m³/s

Odpowiedź

Q = 1,233 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,00304 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·0,5)·0,5 = 1 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,5·√(1 + 2²) = 3,236 m

R = A/P = 0,309 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·1,8/(1·0,4571) = 0,05513

S = 0,05513² = 0,00304

Odpowiedź

S = 0,00304

To spadek o 3,04 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering