Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Rurka Prandtla w rurociągu wodnym wskazuje różnicę 8 kPa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Wyznacz prędkość wody v przy końcówce.

p₀ − p = 8 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 25 mm i wznosi się o 3 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 150 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,1 m/s przez poziomą rurę o długości 500 m i średnicy wewnętrznej 300 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 38 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 38 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 78% tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 18 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 50 L/sH = 18 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 21 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 80 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość 1,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 1,5 my = 1 mn = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Prostokątny kanał (wygładzony beton) o szerokości 5 m ma przeprowadzić 39 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,012. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 39 m³/sb = 5 my = 2,2 mn = 0,012

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 44,15 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Odpowiedź

F = 44,15 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 5,349 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,25·2,5 = 132 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,302/(5,25·2,5) = 5,349 m

Odpowiedź

y_cp = 5,349 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 4 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia

Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·8000/1000) = 4 m/s

Odpowiedź

v = 4 m/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 88,69 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−31,88) − 29,43 = 88,69 kPa

Odpowiedź

p₂ = 88,69 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 73,5 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,3)·2,1²/(2·9,81) = 7,492 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,492 = 73500 Pa = 73,5 kPa

Odpowiedź

Δp = 73,5 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 272,5 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

38 = (21,6 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/24,2) = 5,551 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 5,551·0,04909 = 0,2725 m³/s = 272,5 L/s

Odpowiedź

Q = 272,5 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 11,32 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·18 = 8,829 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,78 = 11,32 kW

Odpowiedź

P_shaft = 11,32 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 42,07 m

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 5)·0,3305 = 5,784 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 15,29 + 5,784 = 42,07 m

Odpowiedź

H = 42,07 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 2,01 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1,5·1 = 1,5 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1 = 3,5 m

R = A/P = 0,4286 m

Prędkość

V = (1/0,03)·0,4286^2/3·0,005^1/2 = 1,34 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 1,5·1,34 = 2,01 m³/s

Odpowiedź

Q = 2,01 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,001468 m/m

Geometria

A = b·y = 5·2,2 = 11 m²

P = b + 2y = 5 + 2·2,2 = 9,4 m

R = A/P = 1,17 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·39/(11·1,11) = 0,03831

S = 0,03831² = 0,001468

Odpowiedź

S = 0,001468

To spadek o 1,468 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering