Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 40 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 200 mm do 100 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 200 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 40 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 200 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Wąż o średnicy wewnętrznej 25 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 1,5 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 3,5 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ciśnienie bezwzględne p_C w punkcie C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +1,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 40 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 40 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,025. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 65% tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 50 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 20 L/sH = 50 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 75 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 7 m wyżej. Rura ma długość 200 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 100 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (mur ceglany) ma szerokość 2 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,6 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 2 my = 0,6 mn = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 0,75 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 104,8 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Odpowiedź

F = 104,8 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 147,2 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·3 = 147,2 kN

Odpowiedź

F = 147,2 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 212,2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,04/0,007854 = 5,093 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 200 + ½·1000·(5,093² − 1,273²)/1000 = 200 + 12,16 = 212,2 kPa

Odpowiedź

p₁ = 212,2 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p_C = 52,25 kPa

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Równanie Bernoulliego od powierzchni do C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·1,5)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa

Odpowiedź

p_C = 52,25 kPa

Jeśli to ciśnienie spadnie do prężności pary wodnej, lewar przestanie działać.

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 19,5 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,264²/(2·9,81) = 0,2611 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,15)·2,264²/(2·9,81) = 19,5 m

Odpowiedź

h_f = 19,5 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 13,04 m

Prędkość

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,025·150/0,25 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Całkowita strata wysokości

h_f = 15·0,4759 = 7,139 m

h_m = 12,4·0,4759 = 5,902 m

Δz = h_f + h_m = 13,04 m

Odpowiedź

Δz = 13,04 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 15,09 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·50 = 9,81 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 9,81/0,65 = 15,09 kW

Odpowiedź

P_shaft = 15,09 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 20,05 m

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0,119 = 2,856 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 10,19 + 2,856 = 20,05 m

Odpowiedź

H = 20,05 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 2,279 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2·0,6 = 1,2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,6 = 3,2 m

R = A/P = 0,375 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,375^2/3·0,003^1/2 = 1,899 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 1,2·1,899 = 2,279 m³/s

Odpowiedź

Q = 2,279 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,003006 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1778)² = 0,003006

Odpowiedź

S = 0,003006

To spadek o 3,006 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering