Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 5 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 100 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 5 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 200 mm, gardziel 150 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 240 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,97. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 240 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 60 L/s przez rurę o długości 400 m i średnicy wewnętrznej 250 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 60 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 0,2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa o sprawności 75% tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 34 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz potrzebną moc na wale P_shaft, w kW.

Q = 10 L/sH = 34 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 22 m wyżej. Rura ma długość 500 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 72%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (mur ceglany) ma szerokość 4 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 0,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,005. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4 my = 0,9 mn = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Prostokątny kanał (niewygładzony beton) o szerokości 4,5 m ma przeprowadzić 15 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,014. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 15 m³/sb = 4,5 my = 1,2 mn = 0,014

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 64,38 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN

Odpowiedź

F = 64,38 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 106,8 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·4,5 = 106,8 kN

Odpowiedź

F = 106,8 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 100,6 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,005/0,01767 = 0,2829 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(1,132² − 0,2829²)/1000 = 100 + 0,6004 = 100,6 kPa

Odpowiedź

p₁ = 100,6 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 159,7 L/s

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,24 = 29665 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 150/200 = 0,75

v₂ = √(2·29665/(1000·(1 − 0,3164))) = 9,316 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,01767·9,316 = 0,1597 m³/s = 159,7 L/s

Odpowiedź

Q = 159,7 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 2,68 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,222²/(2·9,81) = 0,07615 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(400/0,25)·1,222²/(2·9,81) = 2,68 m

Odpowiedź

h_f = 2,68 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 3,659 m

Prędkość

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 6,667 + 1,3)·0,408 = 3,659 m

Odpowiedź

H = 3,659 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 4,447 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·34 = 3,335 kW

Moc na wale

P_shaft = P_h/η = 3,335/0,75 = 4,447 kW

Odpowiedź

P_shaft = 4,447 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 40,37 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,3305 = 15,04 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 22 + 15,04 = 37,04 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·37,04/0,72 = 40,37 kW

Odpowiedź

P_shaft = 40,37 kW

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 12,35 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4·0,9 = 3,6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0,9 = 5,8 m

R = A/P = 0,6207 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,6207^2/3·0,005^1/2 = 3,43 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 3,6·3,43 = 12,35 m³/s

Odpowiedź

Q = 12,35 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002097 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·1,2 = 5,4 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,2 = 6,9 m

R = A/P = 0,7826 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·15/(5,4·0,8492) = 0,04579

S = 0,04579² = 0,002097

Odpowiedź

S = 0,002097

To spadek o 2,097 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering