Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 13 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 150 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 13 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 75 mm i nadciśnienie 110 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 40 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 110 kPa (nadciśnienie)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,3 m/s przez poziomą rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,3 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 500 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 3 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 25 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 66 m. Sprawność pompy wynosi 65%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 88%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 25 L/sH = 66 mη_pump = 65%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 13 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) ma szerokość dna 4,5 m i nachylenie skarp 2:1 (poziomo:pionowo). Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,03, a spadek dna S = 0,004. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 4,5 my = 2 mz = 2n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 375 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 34,34 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1 = 34,34 kN

Odpowiedź

F = 34,34 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 4,188 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2,25/(4·3) = 4,188 m

Odpowiedź

y_cp = 4,188 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 170,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,013/0,007854 = 1,655 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,013/0,001963 = 6,621 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(6,621² − 1,655²)/1000 = 150 + 20,55 = 170,5 kPa

Odpowiedź

p₁ = 170,5 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 12,2 m

Prędkość wylotowa

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9191)) = 15,47 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v₂²/(2g) = 15,47²/(2·9,81) = 12,2 m

Odpowiedź

H = 12,2 m

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 79,35 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,1)·2,3²/(2·9,81) = 8,089 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·8,089 = 79350 Pa = 79,35 kPa

Odpowiedź

Δp = 79,35 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 2,146 m

Prędkość

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Całkowita strata wysokości

h_f = 30·0,05738 = 1,721 m

h_m = 7,4·0,05738 = 0,4246 m

Δz = h_f + h_m = 2,146 m

Odpowiedź

Δz = 2,146 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 28,3 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·66 = 16,19 kW

Moc na wale

P_shaft = 16,19/0,65 = 24,9 kW

Moc elektryczna

P_el = 24,9/0,88 = 28,3 kW

Odpowiedź

P_el = 28,3 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 25,65 m

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0,408 = 12,65 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 13 + 12,65 = 25,65 m

Odpowiedź

H = 25,65 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 41,91 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·2)·2 = 17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2·√(1 + 2²) = 13,44 m

R = A/P = 1,264 m

Prędkość

V = (1/0,03)·1,264^2/3·0,004^1/2 = 2,465 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 17·2,465 = 41,91 m³/s

Odpowiedź

Q = 41,91 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,005714 m/m

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

Odpowiedź

S = 0,005714

To spadek o 5,714 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering