Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Natężenie przepływu: Q = A·V
Promień hydrauliczny: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona: R = D/4
Wymagany spadek: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 250 mm i średnicy gardzieli 125 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 35 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 35 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Pozioma zwężka Venturiego (wlot 150 mm, gardziel 75 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 70 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,96. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 70 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 2,9 m/s przez rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 2,9 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 300 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 74 m. Sprawność pompy wynosi 80%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 80 L/sH = 74 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 120 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 23 m wyżej. Rura ma długość 150 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 400 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni

Prostokątny kanał (mur ceglany) ma szerokość 5,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,1 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 5,5 my = 2,1 mn = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny

Trapezowy kanał (grunt porośnięty trawą) o szerokości dna 6 m i nachyleniu skarp 1,5:1 (poziomo:pionowo) ma przeprowadzić 40 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 2 m. Współczynnik Manninga n = 0,03. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).

Q = 40 m³/sb = 6 my = 2 mz = 1,5n = 0,03

S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 312,7 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Odpowiedź

F = 312,7 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 3,25 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·3 = 111,2 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2,25/(3·3) = 3,25 m

Odpowiedź

y_cp = 3,25 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 106 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v₁ = v₂·(125/250)² = 0,25·v₂

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·35000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,641 m/s

v₁ = 2,16 m/s

Natężenie przepływu

Q = A₂·v₂ = 0,01227·8,641 = 0,106 m³/s = 106 L/s

Odpowiedź

Q = 106 L/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 18,22 L/s

Różnica ciśnień z manometru

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa

Prędkość w gardzieli

Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.

β = 75/150 = 0,5

v₂ = √(2·8652/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,296 m/s

Rzeczywiste natężenie przepływu

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,004418·4,296 = 0,01822 m³/s = 18,22 L/s

Odpowiedź

Q = 18,22 L/s

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 6,43 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,2)·2,9²/(2·9,81) = 6,43 m

Odpowiedź

h_f = 6,43 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 3,45 m

Prędkość

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Całkowita strata wysokości

h_f = 7,333·0,2295 = 1,683 m

h_m = 7,7·0,2295 = 1,767 m

Δz = h_f + h_m = 3,45 m

Odpowiedź

Δz = 3,45 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 80,66 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·74 = 58,08 kW

Moc na wale

P_shaft = 58,08/0,8 = 72,59 kW

Moc elektryczna

P_el = 72,59/0,9 = 80,66 kW

Odpowiedź

P_el = 80,66 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 70,78 m

Prędkość

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,3046 = 7,006 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 23 + 40,77 + 7,006 = 70,78 m

Odpowiedź

H = 70,78 m

9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 47,38 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 5,5·2,1 = 11,55 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·2,1 = 9,7 m

R = A/P = 1,191 m

Prędkość

V = (1/0,015)·1,191^2/3·0,003^1/2 = 4,102 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 11,55·4,102 = 47,38 m³/s

Odpowiedź

Q = 47,38 m³/s

10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,002942 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·2)·2 = 18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 13,21 m

R = A/P = 1,362 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·40/(18·1,229) = 0,05424

S = 0,05424² = 0,002942

Odpowiedź

S = 0,002942

To spadek o 2,942 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering