Hydraulika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości
p = ρgh
Parcie na ścianę pionową
F = ρg·hc·A
Środek parcia
yp = yc + Ic/(ycA)
Prostokąt
Ic = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Natężenie przepływu
Q = A·v
Pole koła
A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu
laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe
hm = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K
wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia
Δp = ρ·g·hf
Dwa otwarte zbiorniki
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale
Pshaft = Ph/ηpump
Moc elektryczna
Pel = Pshaft/ηmotor
Wysokość podnoszenia pompy
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Straty w instalacji
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Wzór Manninga
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Natężenie przepływu
Q = A·V
Promień hydrauliczny
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Prostokąt
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (nachylenie skarp z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
R = D/4
Wymagany spadek
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni
zasuwad = 0,5 mH = 3 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
zasuwad = 2 mH = 1 m

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (olej), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 19 kPaQ = ?

Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 300 mm i średnicy gardzieli 150 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 19 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 19 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
C211 m3,5 md = 25 mmpC​ = ?

Wąż o średnicy wewnętrznej 25 mm działa jak lewar i odprowadza wodę z otwartego zbiornika. Najwyższy punkt węża C leży 1 m nad powierzchnią wody, a wylot (otwarty do atmosfery) 3,5 m pod powierzchnią wody. Pomiń straty i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ciśnienie bezwzględne pC w punkcie C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 101,3 kPa.

d = 25 mmzC = +1 mz2 = −3,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Q = 40 L/sD = 200 mmL = 800 mf = 0,022

Woda płynie z natężeniem 40 L/s przez rurę o długości 800 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie hf.

Q = 40 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
K = 10swobodny wypływH = ?L = 300 m, D = 200 mm, f = 0,024× kolano (K = 0,3)

Rura o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 200 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 10). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.Pompy i moc pompŚredni
PQ = 20 L/sH = 34 m

Podczas próby pompa tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 34 m, a jej wał pobiera 7,8 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 20 L/sH = 34 mPshaft = 7,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
PQ = 80 L/sΔz = 5 mL = 400 m, D = 200 mm, f = 0,025, ΣK = 4

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 4 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 80%. Wyznacz moc na wale Pshaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 4η = 80%
Pshaft = kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
b = 3,5 my = 2,2 mn = 0,015, S = 0,001

Prostokątny kanał (mur ceglany) ma szerokość 3,5 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 2,2 m. Współczynnik Manninga n = 0,015, a spadek dna S = 0,001. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.

b = 3,5 my = 2,2 mn = 0,015S = 0,001
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
D = 300 mmn = 0,013, V = 1,2 m/s

Betonowy kanał ściekowy o średnicy wewnętrznej 300 mm (współczynnik Manninga n = 0,013) musi przy całkowitym wypełnieniu osiągnąć prędkość samooczyszczania 1,2 m/s. Wyznacz minimalny spadek S (w m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 88,29 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
zasuwad = 0,5 mH = 3 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Odpowiedź

F = 88,29 kN
2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 21,58 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
zasuwad = 2 mH = 1 mF

Siła wypadkowa

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·1 = 21,58 kN

Odpowiedź

F = 21,58 kN
3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: Q = 112,5 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ciągłość

v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2

Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą

Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·19000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,367 m/s
v1 = 1,592 m/s

Natężenie przepływu

Q = A2·v2 = 0,01767·6,367 = 0,1125 m³/s = 112,5 L/s

Odpowiedź

Q = 112,5 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: pC = 57,15 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkość w wężu

Powierzchnia i wylot są otwarte do atmosfery, więc wyrazy ciśnieniowe się znoszą.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Równanie Bernoulliego od powierzchni do C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa

Odpowiedź

pC = 57,15 kPa

Jeśli to ciśnienie spadnie do prężności pary wodnej, lewar przestanie działać.

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: hf = 7,271 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 7,271 m

Odpowiedź

hf = 7,271 m
6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 14,11 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 30 + 11,7)·0,3305 = 14,11 m

Odpowiedź

H = 14,11 m
7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 85,52 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·34 = 6,671 kW

Sprawność

η = Ph/Pshaft = 6,671/7,8 = 85,52%

Odpowiedź

η = 85,52%
8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: Pshaft = 22,41 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 4)·0,3305 = 17,85 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + hL = 5 + 17,85 = 22,85 m

Moc na wale

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·22,85/0,8 = 22,41 kW

Odpowiedź

Pshaft = 22,41 kW
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: Q = 15,96 m³/s

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3,5·2,2 = 7,7 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·2,2 = 7,9 m
R = A/P = 0,9747 m

Prędkość

V = (1/0,015)·0,97472/3·0,0011/2 = 2,072 m/s

Natężenie przepływu

Q = A·V = 7,7·2,072 = 15,96 m³/s

Odpowiedź

Q = 15,96 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)

Odpowiedź: S = 0,007694 m/m

Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.

Promień hydrauliczny

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Wyznacz S ze wzoru Manninga

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Odpowiedź

S = 0,007694

To spadek o 7,694 m na kilometr.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering