Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 2,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 160 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w wąskim odcinku.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 160 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Pozioma zwężka Venturiego (wlot 300 mm, gardziel 150 mm) przepuszcza wodę. Rtęciowy manometr U-rurkowy podłączony między wlotem a gardzielą pokazuje różnicę poziomów 70 mm. Współczynnik przepływu wynosi 0,99. Wyznacz natężenie przepływu Q. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ dla wody, 13 600 kg/m³ dla rtęci i g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 70 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,8 m/s przez poziomą rurę o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.
V = 2,8 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 150 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 8 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 8 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Podczas próby pompa tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 28 m, a jej wał pobiera 3,2 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.
Q = 10 L/sH = 28 mPshaft = 3,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,025; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 100 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Prostokątny kanał (niewygładzony beton) ma szerokość 4 m. Woda płynie ruchem jednostajnym na głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,014, a spadek dna S = 0,0015. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
b = 4 my = 1,3 mn = 0,014S = 0,0015
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (żwir) o szerokości 3 m ma przeprowadzić 4,5 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,9 m. Współczynnik Manninga n = 0,025. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 4,5 m³/sb = 3 my = 1,9 mn = 0,025
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 88,29 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN
Odpowiedź
F = 88,29 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 148,3 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN
Odpowiedź
F = 148,3 kN
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 148,3 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(150/75)² = 5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−11,72) = 148,3 kPa
Odpowiedź
p2 = 148,3 kPa
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 75,16 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Różnica ciśnień z manometru
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa
Prędkość w gardzieli
Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego razem dają idealną prędkość w gardzieli.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·8652/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,296 m/s
Rzeczywiste natężenie przepływu
Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,01767·4,296 = 0,07516 m³/s = 75,16 L/s
Odpowiedź
Q = 75,16 L/s
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Δp = 130,7 kPa
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Strata wysokości
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,075)·2,8²/(2·9,81) = 13,32 m
Spadek ciśnienia
Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·13,32 = 130667 Pa = 130,7 kPa
Odpowiedź
Δp = 130,7 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 42,07 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
8 = (15 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·8/27,7) = 2,38 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 2,38·0,01767 = 0,04207 m³/s = 42,07 L/s
Odpowiedź
Q = 42,07 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: η = 85,84 %
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·28 = 2,747 kW
Sprawność
η = Ph/Pshaft = 2,747/3,2 = 85,84%
Odpowiedź
η = 85,84%
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 15,4 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,2115 = 7,403 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.
H = Δz + hL = 8 + 7,403 = 15,4 m
Odpowiedź
H = 15,4 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 12,27 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4·1,3 = 5,2 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1,3 = 6,6 m
R = A/P = 0,7879 m
Prędkość
V = (1/0,014)·0,78792/3·0,00151/2 = 2,36 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 5,2·2,36 = 12,27 m³/s
Odpowiedź
Q = 12,27 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,0004929 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3·1,9 = 5,7 m²
P = b + 2y = 3 + 2·1,9 = 6,8 m
R = A/P = 0,8382 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·4,5/(5,7·0,889) = 0,0222
S = 0,0222² = 0,0004929
Odpowiedź
S = 0,0004929
To spadek o 0,4929 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering