Parcie hydrostatyczne
- Ciśnienie na głębokości
- p = ρgh
- Parcie na ścianę pionową
- F = ρg·hc·A
- Środek parcia
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Prostokąt
- Ic = bH³/12
Hydraulika: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Ciągłość i Bernoulli
- Ciągłość
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Natężenie przepływu
- Q = A·v
- Pole koła
- A = πd²/4
Tarcie w rurach i straty wysokości
- Liczba Reynoldsa
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Charakter przepływu
- laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
- Prędkość średnia
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Straty miejscowe
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typowe wartości K
- wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
- Spadek ciśnienia
- Δp = ρ·g·hf
- Dwa otwarte zbiorniki
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Swobodny wypływ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompy i moc pomp
- Moc hydrauliczna
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Moc na wale
- Pshaft = Ph/ηpump
- Moc elektryczna
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Wysokość podnoszenia pompy
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Straty w instalacji
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
- Wzór Manninga
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Natężenie przepływu
- Q = A·V
- Promień hydrauliczny
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Prostokąt
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (nachylenie skarp z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Rura kołowa, pełna lub w połowie wypełniona
- R = D/4
- Wymagany spadek
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Zadania do ćwiczenia
1.Parcie hydrostatyczneŚredni
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.
d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Parcie hydrostatyczneTrudny
Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1,5 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość ycp środka parcia pod powierzchnią.
d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Ciągłość i BernoulliŚredni
Woda płynie przez poziomą zwężkę Venturiego o średnicy wlotowej 100 mm i średnicy gardzieli 60 mm. Ciśnienie na wlocie jest o 15 kPa wyższe niż w gardzieli. Pomijając straty, wyznacz natężenie przepływu Q.
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 15 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Ciągłość i BernoulliTrudny
Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm i wznosi się o 10 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 260 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p2 w przekroju 2.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 260 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni
Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,6 m/s przez poziomą rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 75 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.
V = 2,6 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny
Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 100 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,015. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 29 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 10) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.
Δz = 29 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompy i moc pompŚredni
Pompa tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 54 m. Sprawność pompy wynosi 80%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 94%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną Pel pobieraną przez silnik, w kW.
Q = 50 L/sH = 54 mηpump = 80%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompy i moc pompTrudny
Pompa przetłacza 75 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 8 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,022; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 2,5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 150 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.
Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 2,5ptank = 150 kPa
H = m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Średni
Betonowy kanał deszczowy o średnicy wewnętrznej 600 mm jest wypełniony dokładnie całkowicie (pracuje jako kanał otwarty, nie pod ciśnieniem). Współczynnik Manninga n = 0,013, a spadek S = 0,003. Wyznacz natężenie przepływu Q w m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,003
Q = m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)Trudny
Prostokątny kanał (czysty grunt) o szerokości 3,5 m ma przeprowadzić 9,3 m³/s w przepływie jednostajnym przy głębokości 1,3 m. Współczynnik Manninga n = 0,022. Wyznacz wymagany spadek dna S (w m/m).
Q = 9,3 m³/sb = 3,5 my = 1,3 mn = 0,022
S = m/m
3Roztwory
1.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: F = 78,48 kN
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN
Odpowiedź
F = 78,48 kN
2.Parcie hydrostatyczne
Odpowiedź: ycp = 4,083 m
Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·yc·A. Działa w środku parcia, ycp = yc + Ic/(ycA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.
Głębokość środka ciężkości i pole
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Siła wypadkowa
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
Środek parcia
Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m
Odpowiedź
ycp = 4,083 m
3.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: Q = 16,6 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ciągłość
v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2
Równanie Bernoulliego między wlotem a gardzielą
Rura jest pozioma, więc zmieniają się tylko ciśnienie i prędkość.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·15000/(1000·(1 − 0,1296))) = 5,871 m/s
v1 = 2,114 m/s
Natężenie przepływu
Q = A2·v2 = 0,002827·5,871 = 0,0166 m³/s = 16,6 L/s
Odpowiedź
Q = 16,6 L/s
4.Ciągłość i Bernoulli
Odpowiedź: p2 = 132,2 kPa
Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.
Ciągłość i Bernoulli
Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(100/40)² = 7,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 7,813²)/1000 = −29,74 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−29,74) − 98,1 = 132,2 kPa
Odpowiedź
p2 = 132,2 kPa
5.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Δp = 270,4 kPa
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Strata wysokości
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,075)·2,6²/(2·9,81) = 27,56 m
Spadek ciśnienia
Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·27,56 = 270400 Pa = 270,4 kPa
Odpowiedź
Δp = 270,4 kPa
6.Tarcie w rurach i straty wysokości
Odpowiedź: Q = 35,99 L/s
Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha hf = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe hm = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = hf + hm, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.
Współczynniki strat
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Równanie energii
Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.
29 = (15 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·29/27,1) = 4,582 m/s
Natężenie przepływu
Q = V·π·D²/4 = 4,582·0,007854 = 0,03599 m³/s = 35,99 L/s
Odpowiedź
Q = 35,99 L/s
7.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: Pel = 35,22 kW
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Moc hydrauliczna
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·54 = 26,49 kW
Moc na wale
Pshaft = 26,49/0,8 = 33,11 kW
Moc elektryczna
Pel = 33,11/0,94 = 35,22 kW
Odpowiedź
Pel = 35,22 kW
8.Pompy i moc pomp
Odpowiedź: H = 27,21 m
Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: Pshaft = Ph/ηpump, a silnik pobiera Pel = Pshaft/ηmotor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.
Prędkość
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Straty wysokości
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 2,5)·0,2905 = 3,922 m
Wysokość ciśnienia
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Wysokość podnoszenia pompy
Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 15,29 + 3,922 = 27,21 m
Odpowiedź
H = 27,21 m
9.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: Q = 0,3363 m³/s
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m
Prędkość
V = (1/0,013)·0,152/3·0,0031/2 = 1,189 m/s
Natężenie przepływu
Q = A·V = 0,2827·1,189 = 0,3363 m³/s
Odpowiedź
Q = 0,3363 m³/s
10.Przepływ w kanałach otwartych (Manning)
Odpowiedź: S = 0,002989 m/m
Wzór Manninga (SI): dla przepływu jednostajnego w kanale otwartym V = (1/n)·R2/3·S1/2 i Q = A·V, gdzie n to współczynnik szorstkości, S to spadek dna (m/m), a R = A/P to promień hydrauliczny: pole przekroju przepływu podzielone przez obwód zwilżony. Do P wlicza się tylko brzeg stykający się z wodą, a nie swobodne zwierciadło. Prostokąt: A = b·y, P = b + 2y. Trapez o nachyleniu skarp z:1 (poziomo:pionowo): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Rura kołowa wypełniona całkowicie lub do połowy ma R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3,5·1,3 = 4,55 m²
P = b + 2y = 3,5 + 2·1,3 = 6,1 m
R = A/P = 0,7459 m
Wyznacz S ze wzoru Manninga
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·9,3/(4,55·0,8225) = 0,05467
S = 0,05467² = 0,002989
Odpowiedź
S = 0,002989
To spadek o 2,989 m na kilometr.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering