Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €20 000 przy stopie 3 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 13 latach.

PV = €20 000r = 3%t = 13

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 4 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 5,5%n = 9

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €955 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 8,5 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €955y = 3%D = 8,5Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €48,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.

β = 0,8r_f = 3%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €20 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €1 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €20 000M = €1 000n = 9r = 6%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €8 000, €7 500, €7 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 500CF₃ = 7 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 29540 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,03·13 = 0,39

e^0,39 = 1,477

Wartość przyszła

FV = 20 000·1,477 = €29 539,62

Odpowiedź

FV = €29 539,62

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 275,3 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 12 000·0,004/(1 − 0,8256) = €275,27

Odpowiedź

A = €275,27

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 824,4 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,0275, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,6137)/0,0275 = €210,73

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6137 = €613,66

Cena

P = €824,39

Odpowiedź

P = €824,39

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 876,2 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 8,5/1,03 = 8,252

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −8,252·(0,01) = −8,252%

P ≈ 955·(1 − 0,08252) = €876,19

Odpowiedź

P = €876,19

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 13,15 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·14% + 0,07692·4%·(1 − 0,258) = 13,15%

Odpowiedź

WACC = 13,15%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,346 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€48,50 = €121 250 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 0,8·5,5% = 7,4%

Wagi

V = €161 250 000, E/V = 0,7519, D/V = 0,2481

WACC

WACC = 0,7519·7,4% + 0,2481·4,5%·(1 − 0,3) = 6,346%

Odpowiedź

WACC = 6,346%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 3940 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,06⁻⁹)/0,06 = 6,802

Zannualizowana cena zakupu

20 000/6,802 = 2 940,44

EAC

EAC = 2 940,44 + 1 000 = €3 940,44

Odpowiedź

EAC = €3 940,44

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 6,275 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 468,63

NPV(10%) = −1 269,72

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·468,63/(468,63 − (−1 269,72)) = 6,348%

dokładnie: NPV(6,275%) = 0 → IRR = 6,275%

Odpowiedź

IRR = 6,275%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation