W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 2 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €50 0005% / 12n = 2
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 3 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €12 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4%YTM = 3,5%n = 3
P = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 6 lat. Kosztuje €1 083. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.
F = €1 000kupon = 4% (2×)n = 6P = €1 083
YTM = %
5.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €12 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €20,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €40 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,20 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €48 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €15 000, €35 000, €29 000, €18 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €28 500, €25 500, €21 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,05/12 = 0,004167
N = 12·2 = 24
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,105 = €45 251,27
Odpowiedź
PV = €45 251,27
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 371,6 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 12 000·0,006/(1 − 0,8063) = €371,62
Odpowiedź
A = €371,62
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1014 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, i = 0,0175, N = 6
Wartość bieżąca kuponów
€20,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €112,98
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,9011 = €901,14
Cena
P = €1 014,12
Odpowiedź
P = €1 014,12
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
4.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 2,502 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €20,00, N = 12
Rozwiąż numerycznie
i = 1,251% na półrocze
YTM
YTM = 2·1,251% = 2,502%
Odpowiedź
YTM = 2,502%
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,62 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941
WACC
WACC = 0,7059·13% + 0,2941·7%·(1 − 0,3) = 10,62%
Odpowiedź
WACC = 10,62%
6.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,2 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 1,2·1,04 = €1,25
re = 1,248/20 + 0,04 = 10,24%
Wartości rynkowe
E = 4 000 000·€20,00 = €80 000 000
V = €128 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·10,24% + 0,375·6%·(1 − 0,2) = 8,2%
Odpowiedź
WACC = 8,2%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 8907 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 15 000/1,06 = 14 150,94
CF2/(1 + 0,06)2 = 35 000/1,124 = 31 149,88
CF3/(1 + 0,06)3 = 29 000/1,191 = 24 348,96
CF4/(1 + 0,06)4 = 18 000/1,262 = 14 257,69
Zsumuj
NPV = €8 907,46
Odpowiedź
NPV = €8 907,46
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
8.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 18,66 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.