Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €20 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €20 0005% / 12n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 17 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €3006% / 12N = 204

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 6% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 6%n = 7

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 010 przy rentowności do wykupu 7% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 10 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €1 010y = 7%D = 10Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €42,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 8,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,2r_f = 2,5%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €27 000, €25 000, €24 000, €13 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 25 000CF₃ = 24 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 000, €11 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 11 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 32940 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·10 = 120

Wartość przyszła

FV = 20 000·(1 + 0,004167)¹²⁰ = 20 000·1,647 = €32 940,19

Odpowiedź

FV = €32 940,19

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 105969 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·17 = 204

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,766 − 1)/0,005 = €105 969,33

Odpowiedź

FV = €105 969,33

Sam wpłaciłeś €61 200; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 830,6 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,03, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €169,44

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6611 = €661,12

Cena

P = €830,56

Odpowiedź

P = €830,56

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 915,6 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 10/1,07 = 9,346

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −9,346·(0,01) = −9,346%

P ≈ 1010·(1 − 0,09346) = €915,61

Odpowiedź

P = €915,61

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,625 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,25) = 6,625%

Odpowiedź

WACC = 6,625%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,322 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€42,50 = €170 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,2·6% = 9,7%

Wagi

V = €179 800 000, E/V = 0,9455, D/V = 0,05451

WACC

WACC = 0,9455·9,7% + 0,05451·3,5%·(1 − 0,21) = 9,322%

Odpowiedź

WACC = 9,322%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 19817 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 27 000/1,05 = 25 714,29

CF₂/(1 + 0,05)² = 25 000/1,103 = 22 675,74

CF₃/(1 + 0,05)³ = 24 000/1,158 = 20 732,10

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 13 000/1,216 = 10 695,13

Zsumuj

NPV = €19 817,26

Odpowiedź

NPV = €19 817,26

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 13,47 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 909,09

NPV(15%) = −378,07

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·909,09/(909,09 − (−378,07)) = 13,53%

dokładnie: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%

Odpowiedź

IRR = 13,47%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation