W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €20 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.
PV = €20 0002% / 4n = 6
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €20 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €20 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 13 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 4% na 3,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 8%n = 13y1 = 4%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €915. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 4P = €915
YTM = %
5.CAPM i WACCŚredni
Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €6 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €2 000 000 i długiem o wartości €2 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 3%. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,25. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €15 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €22 500, €27 000, €21 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 27 000CF3 = 21 500
IRR = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 22543 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 20 000·0,006/(1 − 0,6984) = €397,91
Odpowiedź
A = €397,91
3.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: ΔP = 64,2 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Rozwiąż numerycznie
P(6%) = €930,70, P(7%) = €898,38
YTM = 6,48%
Odpowiedź
YTM = 6,48%
5.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 9,445 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,4/(1 + 0,72·0,25) = 1,186
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 1,186·(1 + 0,72·0,75) = 1,827
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 4% + 1,827·6% = 14,96%
Odpowiedź
re = 14,96%
7.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,834 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 15 000/1,06 = 14 150,94 → Σ = 14 150,94
rok 2: 15 000/1,124 = 13 349,95 → Σ = 27 500,89
rok 3: 15 000/1,191 = 12 594,29 → Σ = 40 095,18
rok 4: 15 000/1,262 = 11 881,40 → Σ = 51 976,58
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 9 904,82/11 881,40 = 3,834
Odpowiedź
DPB = 3,834 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).
8.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 35,41 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(35%) = 219,99
NPV(40%) = −2 317,78
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.