Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 19,5 % rocznie z kapitalizacją półroczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 19,5%m = 2

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 10 lat chcesz mieć €75 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €75 0006% / 12N = 120

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 3 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €948, gdy rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 3P = €948YTM = 8%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 14 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%) kosztuje €1 226. Emitent może ją wykupić przed terminem za 3 lat po cenie wykupu €1 050. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 5%P = €1 226cena wcześniejszego wykupu = €1 050wcześniejszy wykup za 3 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 2 ma wymaganą stopę zwrotu 11%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 2%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 2r_e = 11%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €10,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 1,2, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 7,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,2r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €18 000, €24 000, €21 000, €24 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 24 000CF₃ = 21 000CF₄ = 24 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €14 500, €14 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 20,45 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,195/2 = 0,0975

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0975)² − 1 = 1,205 − 1 = 20,45%

Odpowiedź

EAR = 20,45%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 457,7 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·10 = 120

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,005/(1,819 − 1) = €457,65

Odpowiedź

A = €457,65

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 5,982 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,08)⁻³ = €793,83

Kupon

C = (948 − 793,83)/2,577 = €59,82

Oprocentowanie kuponu

c = 59,82/1000 = 5,982%

Odpowiedź

c = 5,982%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 50 %

Równanie dla rentowności

1226 = 50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1050/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

y = 50%: €381,48

YTC = 50%

Odpowiedź

YTC = 50%

Rentowność do wykupu wynosi 2,999%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 6,5 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (11% − 2%)/2 = 4,5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 2% + 4,5% = 6,5%

Odpowiedź

r_m = 6,5%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,469 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€10,50 = €10 500 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,2·4% = 8,3%

Wagi

V = €15 500 000, E/V = 0,6774, D/V = 0,3226

WACC

WACC = 0,6774·8,3% + 0,3226·3,5%·(1 − 0,25) = 6,469%

Odpowiedź

WACC = 6,469%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 1330 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 18 000/1,15 = 15 652,17

CF₂/(1 + 0,15)² = 24 000/1,322 = 18 147,45

CF₃/(1 + 0,15)³ = 21 000/1,521 = 13 807,84

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 24 000/1,749 = 13 722,08

Zsumuj

NPV = €1 329,54

Odpowiedź

NPV = €1 329,54

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 10,49 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 165,29

NPV(15%) = −1 427,22

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·165,29/(165,29 − (−1 427,22)) = 10,52%

dokładnie: NPV(10,49%) = 0 → IRR = 10,49%

Odpowiedź

IRR = 10,49%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation