Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 18 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 18%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 2? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €150 0004,8% / 12N = 240k = 24

B = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 5,5%n = 10

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 5 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 3%n = 5YTM = 8%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej WACC wynosi 7,36%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €4 000 000D = €5 000 000WACC = 7,36%r_d = 6%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €18,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €28 800 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,30 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €43 200 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 4 000 000P₀ = €18,00księgowy kapitał własny = €28 800 000D₀ = €1,30g = 4%D = €43 200 000r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €40 000, działa przez 6 lat, a jej eksploatacja kosztuje €1 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €40 000M = €1 000n = 6r = 10%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €150 000. Jego przepływ wynosi €16 500 na koniec roku 1 i rośnie o 3 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €16 500g = 3%n = 9r = 12%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 19,72 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,18/365 = 0,0004932

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0004932)³⁶⁵ − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%

Odpowiedź

EAR = 19,72%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 140613 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 240

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻²⁴⁰) = €973,44

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 240 − 24 = 216

B = 973,4·(1 − (1 + 0,004)⁻²¹⁶)/0,004 = €140 612,91

Odpowiedź

B = €140 612,91

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 961,9 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0275, N = 20

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €380,68

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5813 = €581,25

Cena

P = €961,93

Odpowiedź

P = €961,93

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 4,678 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 30/1,08 = 27,78, t·PV = 27,78

t = 2: 30/1,166 = 25,72, t·PV = 51,44

t = 3: 30/1,26 = 23,81, t·PV = 71,44

t = 4: 30/1,36 = 22,05, t·PV = 88,20

t = 5: 1030/1,469 = 701,00, t·PV = 3 505,00

Duration

P = 800,36

D = 3 743,87/800,36 = 4,678

Odpowiedź

D = 4,678 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 11 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

Część dłużna WACC

0,5556·6%·(1 − 0,258) = 2,473%

Koszt kapitału własnego

r_e = (7,36% − 2,473%)/0,4444 = 11%

Odpowiedź

r_e = 11%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,994 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 1,3·1,04 = €1,35

r_e = 1,352/18 + 0,04 = 11,51%

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€18,00 = €72 000 000

V = €115 200 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·11,51% + 0,375·6%·(1 − 0,2) = 8,994%

Odpowiedź

WACC = 8,994%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 10184 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,1⁻⁶)/0,1 = 4,355

Zannualizowana cena zakupu

40 000/4,355 = 9 184,30

EAC

EAC = 9 184,30 + 1 000 = €10 184,30

Odpowiedź

EAC = €10 184,30

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −52928 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,03)/(1,12))⁹ = 0,4705

PV = 16 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,4705) = 97 072,38

NPV

NPV = 97 072,38 − 150 000 = −€52 927,62

Odpowiedź

NPV = −€52 927,62

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation