Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 24 % rocznie z kapitalizacją dziennie. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 24%m = 365

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 10 lat. Konto daje 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2505,4% / 12N = 120

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 3%n = 10

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 080. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 10P = €1 080

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej WACC wynosi 6,7%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 30%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €8 000 000D = €4 000 000WACC = 6,7%r_d = 3%T = 30%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €8 000 000 i koszcie 10%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 7 lat do wykupu), notowanych po €1 088 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €8 000 000r_e = 10%obligacje: 5 000 × €1 088kupon = 6%n = 7T = 25%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €22 000, €33 000, €25 000, €29 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 22 000CF₂ = 33 000CF₃ = 25 000CF₄ = 29 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €100 000. Jego przepływ wynosi €12 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 9. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €12 000g = 5%n = 9r = 8%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 27,11 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,24/365 = 0,0006575

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0006575)³⁶⁵ − 1 = 1,271 − 1 = 27,11%

Odpowiedź

EAR = 27,11%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 39663 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·10 = 120

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,714 − 1)/0,0045 = €39 662,74

Odpowiedź

FV = €39 662,74

Sam wpłaciłeś €30 000; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1343 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,015, N = 20

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €600,90

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7425 = €742,47

Cena

P = €1 343,37

Odpowiedź

P = €1 343,37

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,013 %

Równanie dla rentowności

€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 081,11, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4,013%

Odpowiedź

YTM = 4,013%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Część dłużna WACC

0,3333·3%·(1 − 0,3) = 0,7%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,7% − 0,7%)/0,6667 = 9%

Odpowiedź

r_e = 9%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,32 %

Koszt długu (YTM)

1088 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 4,506%

Wartości rynkowe

D = 5 000·€1 088 = €5 440 000

V = €13 440 000, E/V = 0,5952, D/V = 0,4048

WACC

WACC = 0,5952·10% + 0,4048·4,506%·(1 − 0,25) = 7,32%

Odpowiedź

WACC = 7,32%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 14824 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 22 000/1,08 = 20 370,37

CF₂/(1 + 0,08)² = 33 000/1,166 = 28 292,18

CF₃/(1 + 0,08)³ = 25 000/1,26 = 19 845,81

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 29 000/1,36 = 21 315,87

Zsumuj

NPV = €14 824,22

Odpowiedź

NPV = €14 824,22

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −10420 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,08))⁹ = 0,7761

PV = 12 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7761) = 89 579,86

NPV

NPV = 89 579,86 − 100 000 = −€10 420,14

Odpowiedź

NPV = −€10 420,14

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation