Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 17,5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 17,5%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €15 0003% / 12N = 48

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 5 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 5,5%n = 5

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 4 lat. Rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 7%n = 4YTM = 4%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 1,5. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.

D/E = 1,5r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 11%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 4 lat do wykupu), notowanych po €1 055 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €6 000 000r_e = 11%obligacje: 2 000 × €1 055kupon = 5%n = 4T = 25%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €400 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €26 000, a potem przepływ rośnie o 2 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €26 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €23 000, €33 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 000CF₂ = 33 500

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 18,68 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,175/4 = 0,04375

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,04375)⁴ − 1 = 1,187 − 1 = 18,68%

Odpowiedź

EAR = 18,68%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 936,7 €

Rata miesięczna

i = 0,0025, N = 48

A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁴⁸) = €332,01

Łączne odsetki

I = N·A − P = 48·332 − 15 000 = €936,72

Odpowiedź

I = €936,72

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 978,4 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0275, N = 10

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €216,00

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7624 = €762,40

Cena

P = €978,40

Odpowiedź

P = €978,40

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 3,645 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31

t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44

t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69

t = 4: 1070/1,17 = 914,64, t·PV = 3 658,56

Duration

P = 1 108,90

D = 4 042,00/1 108,90 = 3,645

Odpowiedź

D = 3,645 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,08 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·8% + 0,6·6%·(1 − 0,2) = 6,08%

Odpowiedź

WACC = 6,08%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,822 %

Koszt długu (YTM)

1055 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 3,503%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€1 055 = €2 110 000

V = €8 110 000, E/V = 0,7398, D/V = 0,2602

WACC

WACC = 0,7398·11% + 0,2602·3,503%·(1 − 0,25) = 8,822%

Odpowiedź

WACC = 8,822%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −75000 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 26 000/(0,1 − 0,02) = 325 000,00

NPV

NPV = 325 000,00 − 400 000 = −€75 000,00

Odpowiedź

NPV = −€75 000,00

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 8,024 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 2 290,25

NPV(10%) = −1 404,96

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·2 290,25/(2 290,25 − (−1 404,96)) = 8,099%

dokładnie: NPV(8,024%) = 0 → IRR = 8,024%

Odpowiedź

IRR = 8,024%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation