Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 8 latach.

PV = €1 0003,6% / 12n = 8

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 11 lat. Konto daje 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €3006% / 12N = 132

FV = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 9%n = 12

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €920 przy rentowności do wykupu 4% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 7,1 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.

P₀ = €920y = 4%D = 7,1Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,25 ma wymaganą stopę zwrotu 11,13%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,25r_e = 11,13%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,9D/E = 0,6T = 25,8%r_f = 1,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €5 000, €6 000, €7 000, €7 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €10 000 przynosi €2 500 na koniec każdego roku przez 6 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 6

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1333 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·8 = 96

Wartość przyszła

FV = 1 000·(1 + 0,003)⁹⁶ = 1 000·1,333 = €1 333,18

Odpowiedź

FV = €1 333,18

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 55897 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·11 = 132

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,932 − 1)/0,005 = €55 896,79

Odpowiedź

FV = €55 896,79

Sam wpłaciłeś €39 600; reszta to odsetki.

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 782,6 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,045, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €434,86

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,3477 = €347,70

Cena

P = €782,57

Odpowiedź

P = €782,57

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 904,3 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 7,1/1,04 = 6,827

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −6,827·(0,0025) = −1,707%

P ≈ 920·(1 − 0,01707) = €904,30

Odpowiedź

P = €904,30

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 9,504 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (11,13% − 3%)/1,25 = 6,504%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 3% + 6,504% = 9,504%

Odpowiedź

r_m = 9,504%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8,654 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,9·(1 + 0,742·0,6) = 1,301

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,301·5,5% = 8,654%

Odpowiedź

r_e = 8,654%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 2010 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 5 000/1,05 = 4 761,90

CF₂/(1 + 0,05)² = 6 000/1,103 = 5 442,18

CF₃/(1 + 0,05)³ = 7 000/1,158 = 6 046,86

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 7 000/1,216 = 5 758,92

Zsumuj

NPV = €2 009,86

Odpowiedź

NPV = €2 009,86

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 12,98 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 10 000/2 500 = 4

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 12%: 4,111

i = 13%: 3,998

IRR = 12,98%

Odpowiedź

IRR = 12,98%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation