Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 6 latach.

PV = €2 0006% / 4n = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €200 0004,2% / 12N = 360

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% i zapada za 6 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5% na 7%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 4%n = 6y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 4,5%n = 3YTM = 5%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,7. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,5. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,7D/E = 0,5T = 25,8%r_f = 1%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €6 000, €6 000, €4 000, €5 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000CF₄ = 5 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €22 000, €21 000, €25 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 000CF₂ = 21 000CF₃ = 25 000

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2859 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·6 = 24

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,015)²⁴ = 2 000·1,43 = €2 859,01

Odpowiedź

FV = €2 859,01

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 978 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 200 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €978,03

Odpowiedź

A = €978,03

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −92,24 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €40,00, i = 0,05, N = 6

€40,00·(1 − 0,7462)/0,05 + €1 000·0,7462 = €203,03 + €746,22 = €949,24

Cena przy nowej rentowności

C = €40,00, i = 0,07, N = 6

€40,00·(1 − 0,6663)/0,07 + €1 000·0,6663 = €190,66 + €666,34 = €857,00

Zmiana

ΔP = 857,00 − 949,24 = −€92,24

Odpowiedź

ΔP = −€92,24

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 2,872 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 45/1,05 = 42,86, t·PV = 42,86

t = 2: 45/1,103 = 40,82, t·PV = 81,63

t = 3: 1045/1,158 = 902,71, t·PV = 2 708,13

Duration

P = 986,38

D = 2 832,62/986,38 = 2,872

Odpowiedź

D = 2,872 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 11,45 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·13% + 0,1667·5%·(1 − 0,258) = 11,45%

Odpowiedź

WACC = 11,45%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 6,278 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,7·(1 + 0,742·0,5) = 0,9597

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 0,9597·5,5% = 6,278%

Odpowiedź

r_e = 6,278%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −3835 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 6 000/1,12 = 5 357,14

CF₂/(1 + 0,12)² = 6 000/1,254 = 4 783,16

CF₃/(1 + 0,12)³ = 4 000/1,405 = 2 847,12

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 5 000/1,574 = 3 177,59

Zsumuj

NPV = €−3 834,98

Odpowiedź

NPV = €−3 834,98

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,27 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 728,27

NPV(35%) = −2 020,02

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·728,27/(728,27 − (−2 020,02)) = 31,32%

dokładnie: NPV(31,27%) = 0 → IRR = 31,27%

Odpowiedź

IRR = 31,27%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation