Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €5 000 przy stopie 2 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 6 latach.

PV = €5 000r = 2%t = 6

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €25 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 6 lat przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €25 0005,4% / 12N = 72

I = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 7 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 031, gdy rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 7P = €1 031YTM = 3,5%

c = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 10 latach, a jej cena wynosi €1 085. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 4%n = 10P = €1 085

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej WACC wynosi 10,13%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €8 000 000D = €4 000 000WACC = 10,13%r_d = 3%T = 20%

r_e = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €51,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €80 000, działa przez 5 lat, a jej eksploatacja kosztuje €2 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €80 000M = €2 000n = 5r = 10%

EAC = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €80 000. Jego przepływ wynosi €20 000 na koniec roku 1 i rośnie o 5 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 4. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €20 000g = 5%n = 4r = 12%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 5637 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,02·6 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Wartość przyszła

FV = 5 000·1,127 = €5 637,48

Odpowiedź

FV = €5 637,48

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 4324 €

Rata miesięczna

i = 0,0045, N = 72

A = 25 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁷²) = €407,28

Łączne odsetki

I = N·A − P = 72·407,3 − 25 000 = €4 324,04

Odpowiedź

I = €4 324,04

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,007 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,035)⁻⁷ = €785,99

Kupon

C = (1031 − 785,99)/6,115 = €40,07

Oprocentowanie kuponu

c = 40,07/1000 = 4,007%

Odpowiedź

c = 4,007%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,003 %

Równanie dla rentowności

€1 085 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Rozwiąż numerycznie

P(3%) = €1 085,30, P(4%) = €1 000,00

YTM = 3,003%

Odpowiedź

YTM = 3,003%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 14 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Część dłużna WACC

0,3333·3%·(1 − 0,2) = 0,8%

Koszt kapitału własnego

r_e = (10,13% − 0,8%)/0,6667 = 14%

Odpowiedź

r_e = 14%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,119 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€51,50 = €257 500 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·4% = 10,2%

Wagi

V = €297 500 000, E/V = 0,8655, D/V = 0,1345

WACC

WACC = 0,8655·10,2% + 0,1345·3%·(1 − 0,28) = 9,119%

Odpowiedź

WACC = 9,119%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 23104 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,1⁻⁵)/0,1 = 3,791

Zannualizowana cena zakupu

80 000/3,791 = 21 103,80

EAC

EAC = 21 103,80 + 2 000 = €23 103,80

Odpowiedź

EAC = €23 103,80

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −14993 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,05)/(1,12))⁴ = 0,7725

PV = 20 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,7725) = 65 006,80

NPV

NPV = 65 006,80 − 80 000 = −€14 993,20

Odpowiedź

NPV = −€14 993,20

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation