Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €2 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Stopa procentowa wynosi 3 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €2 000i = 3%n = 6

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €25 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €25 0003% / 12N = 60

A = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 4 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 4y₀ = 3,5%y₁ = 3%

HPR = %

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €925. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 9P = €925

YTM = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €54,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4,5%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €40 000. Przynosi €13 500 na koniec każdego roku przez 3 lat, a potem można ją sprzedać za €10 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €40 000CF = €13 500S = €10 000n = 3r = 8%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje dziś €100 000. Jego przepływ wynosi €10 000 na koniec roku 1 i rośnie o 4 % rocznie aż do ostatniego przepływu na koniec roku 10. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €10 000g = 4%n = 10r = 12%

NPV = €

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 10834 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8375)/0,03 = 5,417

Wartość bieżąca

PV = 2 000·5,417 = €10 834,38

Odpowiedź

PV = €10 834,38

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 449,2 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·5 = 60

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,8609

A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €449,22

Odpowiedź

A = €449,22

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 4,879 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €50,00, i = 0,035, N = 4

€50,00·(1 − 0,8714)/0,035 + €1 000·0,8714 = €183,65 + €871,44 = €1 055,10

Cena sprzedaży

C = €50,00, i = 0,03, N = 3

€50,00·(1 − 0,9151)/0,03 + €1 000·0,9151 = €141,43 + €915,14 = €1 056,57

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (50 + 1 056,57 − 1 055,10)/1 055,10 = 4,879%

Odpowiedź

HPR = 4,879%

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,009 %

Równanie dla rentowności

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,009%

Odpowiedź

YTM = 4,009%

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,963 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·13% + 0,2857·3%·(1 − 0,21) = 9,963%

Odpowiedź

WACC = 9,963%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,546 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€54,50 = €136 250 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·6,5% = 7,7%

Wagi

V = €141 500 000, E/V = 0,9629, D/V = 0,0371

WACC

WACC = 0,9629·7,7% + 0,0371·4,5%·(1 − 0,21) = 7,546%

Odpowiedź

WACC = 7,546%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 2729 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

13 500·2,577 = 34 790,81

Wartość bieżąca wartości końcowej

10 000/1,26 = 7 938,32

NPV

NPV = −40 000 + 34 790,81 + 7 938,32 = €2 729,13

Odpowiedź

NPV = €2 729,13

8.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −34575 €

Wartość bieżąca renty rosnącej

((1,04)/(1,12))¹⁰ = 0,4766

PV = 10 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,4766) = 65 425,12

NPV

NPV = 65 425,12 − 100 000 = −€34 574,88

Odpowiedź

NPV = −€34 574,88

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation