Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €6 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2,5 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 4,5 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €6 000g = 2,5%r = 4,5%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €5 000 przy 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €125 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €5 000A = €1257,2% / 12

N = raty

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 9% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 9%n = 6

P = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 4%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 6%n = 6YTM = 4%

D = lata

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 0,9 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,75T = 25%r_f = 1,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €12 000, €19 000, €16 000. Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 19 000CF₃ = 16 000

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €20 000 przynosi €4 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €20 000CF = €4 500n = 5

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 300000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,045 − 0,025) = 6 000/0,02 = €300 000,00

Odpowiedź

PV = €300 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 46 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,006/125 = 0,76

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,76)/ln(1,006) = 45,88

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

45 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 46

Odpowiedź

N = 46 raty

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 680,8 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,045, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,5897)/0,045 = €91,19

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5897 = €589,66

Cena

P = €680,85

Odpowiedź

P = €680,85

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,256 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 60/1,04 = 57,69, t·PV = 57,69

t = 2: 60/1,082 = 55,47, t·PV = 110,95

t = 3: 60/1,125 = 53,34, t·PV = 160,02

t = 4: 60/1,17 = 51,29, t·PV = 205,15

t = 5: 60/1,217 = 49,32, t·PV = 246,58

t = 6: 1060/1,265 = 837,73, t·PV = 5 026,40

Duration

P = 1 104,84

D = 5 806,79/1 104,84 = 5,256

Odpowiedź

D = 5,256 lata

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,95 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

WACC

WACC = 0,7273·14% + 0,2727·3,5%·(1 − 0,2) = 10,95%

Odpowiedź

WACC = 10,95%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 7,125 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 0,9/(1 + 0,75·0,5) = 0,6545

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 0,6545·(1 + 0,75·0,75) = 1,023

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,023·5,5% = 7,125%

Odpowiedź

r_e = 7,125%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −2516 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 12 000/1,05 = 11 428,57

CF₂/(1 + 0,05)² = 19 000/1,103 = 17 233,56

CF₃/(1 + 0,05)³ = 16 000/1,158 = 13 821,40

Zsumuj

NPV = €−2 516,47

Odpowiedź

NPV = €−2 516,47

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 4,059 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 20 000/4 500 = 4,444

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 4%: 4,452

i = 5%: 4,329

IRR = 4,059%

Odpowiedź

IRR = 4,059%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation