Inwestycje i wycena: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 16 % rocznie z kapitalizacją półroczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 16%m = 2

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €200 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 30 lat przy 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 10? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €200 0004,2% / 12N = 360k = 120

B = €

3.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 15 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 5,5% na 4,5%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 2%n = 15y₁ = 5,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 14 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%) kosztuje €1 153. Emitent może ją wykupić przed terminem za 4 lat po cenie wykupu €1 060. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 6%P = €1 153cena wcześniejszego wykupu = €1 060wcześniejszy wykup za 4 lata

YTC = %

5.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM i WACCTrudny

Firma ma 1 000 000 akcji notowanych po €37,50; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €15 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €0,80 na akcję, a dywidendy rosną o 5% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €30 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.

N = 1 000 000P₀ = €37,50księgowy kapitał własny = €15 000 000D₀ = €0,80g = 5%D = €30 000 000r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

7.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €100 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €6 000, a potem przepływ rośnie o 2 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €6 000g = 2%r = 9%

NPV = €

8.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €10 000 przynosi €2 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 6

IRR = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 16,64 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,16/2 = 0,08

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,08)² − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%

Odpowiedź

EAR = 16,64%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 158625 €

Rata miesięczna

i = 0,0035, N = 360

A = 200 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €978,03

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 360 − 120 = 240

B = 978·(1 − (1 + 0,0035)⁻²⁴⁰)/0,0035 = €158 624,84

Odpowiedź

B = €158 624,84

3.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 82,83 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €20,00, i = 0,055, N = 15

€20,00·(1 − 0,4479)/0,055 + €1 000·0,4479 = €200,75 + €447,93 = €648,68

Cena przy nowej rentowności

C = €20,00, i = 0,045, N = 15

€20,00·(1 − 0,5167)/0,045 + €1 000·0,5167 = €214,79 + €516,72 = €731,51

Zmiana

ΔP = 731,51 − 648,68 = €82,83

Odpowiedź

ΔP = €82,83

4.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 3,284 %

Równanie dla rentowności

1153 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1060/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

y = 3%: €1 164,82

y = 4%: €1 123,89

YTC = 3,284%

Odpowiedź

YTC = 3,284%

Rentowność do wykupu wynosi 4,503%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

5.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,12 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·10% + 0,4·3,5%·(1 − 0,2) = 7,12%

Odpowiedź

WACC = 7,12%

6.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,602 %

Koszt kapitału własnego

D₁ = 0,8·1,05 = €0,84

r_e = 0,84/37,5 + 0,05 = 7,24%

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€37,50 = €37 500 000

V = €67 500 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·7,24% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,21) = 5,602%

Odpowiedź

WACC = 5,602%

7.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −14286 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 6 000/(0,09 − 0,02) = 85 714,29

NPV

NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71

Odpowiedź

NPV = −€14 285,71

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

8.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 5,472 %

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 10 000/2 000 = 5

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 5%: 5,076

i = 6%: 4,917

IRR = 5,472%

Odpowiedź

IRR = 5,472%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation